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向量

向量又稱為矢量，最初應用與物理學。很多物理量如力、速度、位移以及電場強度、磁感應強度等等都是向量。大約公元前350年前，古希臘著名學者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則得到。

“向量”一詞來自力學、解析幾何中的有向線段。最先使用有向線段表示向量的是英國科學家牛頓。向量進入數學并得到發展的階段是18世紀末期，挪威測量學家威塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數 $a+bi$ ，并利用具有幾何意義的復數運算來定義向量的運算。把坐標平面上的點用向量表示出來，并把向量的幾何用于研究幾何問題與三角問題。人們逐步接受了復數，也學會了利用復數來表示和研究平面中的向量，向量就這樣平靜地進入了數學。 但復數的利用是受到限制的，因為它僅能表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物體，則需要尋找所謂三維“復數”以及相應的運算體系。

19世紀中期，英國數學家哈密爾頓發表了四元數（包括數量部分和向量部分），以代表空間的向量。他的工作作為向量代數和向量分析的建立奠定了基礎。隨后，電磁理論的發現者、英國的數學物理學家麥克斯韋把四元數的數量部分和向量部分分開處理，從而創造了大量的向量分析。

三維向量分析的開創，以及與四元數的正式分裂，是美國的吉布斯（Gibbs）和海維塞德于19世紀80年代各自獨立完成的。他們提出，一個向量不過是四元數的向量部分，但不獨立于任何四元數。他們引進了兩種類型的乘法，即數量積和向量積。并把向量代數推廣到變向量的向量微積分。從此，向量的方法被引進到分析和解析幾何中來，并逐步完善，成為了一套優良的數學工具。

一般日常生活中使用的向量是一種帶幾何性質的量，除零向量外，總可以畫出箭頭表示方向。但是在高等數學中還有更廣泛的向量。例如，把所有實系數多項式的全體看成一個多項式空間，這里的多項式都可看成一個向量。在這種情況下，要找出起點和終點甚至畫出箭頭表示方向是辦不到的。這種空間中的向量比幾何中的向量要廣泛得多，可以是任意數學對象或物理對象。這樣，就可以指導線性代數方法應用到廣闊的自然科學領域中去了。因此，向量空間的概念已成為數學中最基本的概念和線性代數的中心內容，它的理論和方法在自然科學的各領域中得到了廣泛的應用。而向量及其線性運算也為“向量空間”這一抽象的概念提供了一個具體的模型。

從數學發展史來看，歷史上很長一段時間，空間的向量結構并未被數學家們所認識，直到19世紀末20世紀初，人們才把空間的性質與向量運算聯系起來，使向量成為具有一套優良運算通性的數學體系。

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行列式

行列式出現于線性方程組的求解，它最早是一種速記的表達式，現在已經是數學中一種非常有用的工具。行列式是由日本數學家關孝和以及德國的萊布尼茨發明的。關孝和于1683年在其著作《解伏題之法》中第一次提出了行列式的概念與展開算法。同時代的萊布尼茨是歐洲第一個提出行列式概念的人。他在1693年4月寫給洛必達的一封信中使用了行列式，并給出方程組的系數行列式為零的條件。

1750年，瑞士數學家克萊姆（G.Cramer，1704-1752）在其著作《線性代數分析導言》中對行列式的定義和展開法則給出了較完整、明確的闡述，并給出了現在我們所稱的解線性方程組的“克萊姆法則”。稍后，法國數學家貝祖（E.Bezout，1730-1783）將確定行列式每一項符號的方法進行了系統化，利用系數行列式概念指出了如何判斷一個有n個未知量的n個齊次線性方程組有非零解的方法，就是系數行列式等于零是這個方程組有非零解的條件。

總之，在很長一段時間內，行列式只是作為解線性方程組的一種工具使用，并沒有人意識到它可以獨立于線性方程組之外，單獨形成一門理論加以研究。在行列式的發展史上，第一個對行列式理論做出連貫、邏輯的闡述，即把行列式理論與線性方程組求解相分離的人，是法國數學家范德蒙（A.T.Vandermonde，1735-1796)。范德蒙自幼在父親的指導下學習音樂，但對數學有濃厚的興趣，后來終于成為法蘭西科學院院士。特別地，他給出了用二階子式和它們的余子式來展開行列式的法則。就對行列式本身這一點來說，他是這門理論的奠基人。1772年，拉普拉斯在一篇論文中證明了范德蒙提出的一些規則，推廣了他的展開行列式的方法。

繼范德蒙之后，在行列式的理論方面，又一位做出突出貢獻的就是法國大數學家柯西（Cauchy）。1815年，柯西在一篇論文中給出了行列式的第一個系統的、幾乎是近代的處理。其中主要結果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一個把行列式的元素排成方陣，采用雙足標記法；引進了行列式特征方程的術語；給出了相似行列式概念：改進了拉普拉斯的行列式展開定理并給出了一個證明等。繼柯西之后，在行列式理論方面最多產的人就是德國數學家雅可比（J.Jacobi，1804-1851)，他引進了函數行列式，即“雅可比行列式”，指出函數行列式在多重積分的變量替換中的作用，給出了函數行列式的導數公式。雅可比的著名論文《論行列式的形成和性質》標志著行列式系統理論的建成。行列式在數學分析、幾何學、線性方程組理論、二次型理論等多方面的應用，促使了行列式理論在19世紀得到了很大發展。整個19世紀都有行列式的新結果。除了一般行列式的大量定理之外，還有許多有關特殊行列式的其他定理都相繼得到。

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矩陣

矩陣是數學中的一個重要的基本概念，是代數學的一個主要研究對象，也是數學研究和應用的一個重要工具。“矩陣”這個詞是由西爾維斯特（James Joseph Sylvester，1814-1897）首先使用的，他是為了將數字的矩形陣列區別于行列式而發明了這個術語。矩陣這個詞來源于拉丁語，代表一排數。而實際上，矩陣這個課題在誕生之前就已經發展的很好了。從行列式的大量工作中明顯地表現出來，為了很多目的，不管行列式的值是否與問題有關，方陣本身都可以研究和使用，矩陣的許多基本性質也是在行列式的發展中建立起來的。在邏輯上，矩陣的概念應先于行列式的概念，然而在歷史上發生的次序正好相反。

英國數學家凱萊（A.Cayley，1821-1895）一般被公認為是矩陣論的創立者，因為他首先把矩陣作為一個獨立的數學概念提出來，并首先發表了關于這個題目的一系列文章。凱萊在研究線性變換下的不變量相結合時，首先引進矩陣以簡化記號，1858年，他發表了關于這一課題的第一篇論文《矩陣論的研究報告》，系統地闡述了關于矩陣的理論。文中他定義了矩陣的相等、矩陣的運算法則、矩陣的轉置以及矩陣的逆等一系列基本概念，指出了矩陣加法的可交換性與可結合性。他用單一的字母A來表示矩陣是對矩陣代數發展至關重要的，其公式 $det(AB)=det(A)det(B)$ 為矩陣代數和行列式間提供了一種聯系。另外，凱萊還給出了方陣的特征方程和特征根（特征值）以及有關矩陣的一些基本結果。凱萊出生于一個古老而有才能的英國家庭，劍橋大學三一學院大學畢業后留校講授數學，三年后他轉從律師職業，工作卓有成效，并利用業余時間研究數學，發表了大量的數學論文。

1855年，埃米特（Cherie，1822-1901）證明了別的數學家發現的一些矩陣類的特征根的特殊性質，如現在稱為埃米特矩陣的特征根性質等。后來，克萊伯施（A.Clebsch，1831-1872)、布克海姆(A.Buchheim）等證明了對稱矩陣的特征根性質。泰伯（H.Taber）引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關的結論。

在矩陣論的發展史上，弗羅伯紐斯（G.Frobenius，1849-1917）的貢獻是不可磨滅的。他討論了最小多項式問題，引進了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，并討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質。1854年，約當研究了矩陣化為標準型的問題。

矩陣本身所具有的性質依賴于元素的性質。矩陣由最初作為一種工具經過兩個多世紀的發展，現在已成為獨立的一門數學分支——矩陣論。而矩陣論又可分為 矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論 等矩陣的現代理論。矩陣及其理論現已廣泛地應用于現代科技的各個領域。矩陣的發展是與線性變換密切相連的。到19世紀它還僅占線性變換理論形成中有限的空間。現代向量空間的定義是由皮亞諾（Peano）于1888年提出的，皮亞諾以公理的方式定義了有限維或無限維向量空間。二次世界大戰后隨著現代數字計算機的發展，矩陣又有了新的含義，特別是在矩陣的數值分析等方面。由于計算機的飛速發展和廣泛應用，許多實際問題可以通過離散化的數值計算得到定量的解決。于是作為處理離散問題的線性代數，成為從事科學研究和工程設計的科技人員必備的數學基礎。

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線性方程組

線性方程組的解法早在中國古代的數學著作《九章算術》的方程一章中已作了比較完整的論述。《九章算術》是綜合性的歷史著作，原作者不詳，據研究西漢的張蒼、耿壽昌曾經做過增補，魏晉時的數學家劉徽做過詳細注解。劉徽定義了若干數學概念，全面論證了《九章算術》的公式解法，提出了許多重要的思想、方法和命題。在這部書的手稿中解釋了如何消去變元的方法求解帶有三個未知量的三方程系統，其中所述方法實質上相當于現代的對方程組的增廣矩陣施行初等行變換從而消去未知量的方法，即高斯消元法。

在西方，線性方程組的研究是在17世紀后期由萊布尼茨開創的。他曾研究含兩個未知量的三個線性方程組組成的方程組。麥克勞林在18世紀上半葉研究了具有二、三、四個未知量的線性方程組，得到了現在稱為克萊姆法則的結果。克萊姆不久也發表了這個法則。18世紀下半葉，法國數學家貝祖對線性方程組理論進行了一系列研究，證明了n個n元齊次線性方程組有非零解的條件是系數行列式等于零。

19世紀，英國數學家史密斯（H.Smith）和道奇森（C.L.Dodgson）繼續研究線性方程組理論，前者引進了方程組的增廣矩陣和非增廣矩陣的概念，后者證明了n個未知數m個方程的方程組相容的充要條件是系數矩陣和增廣矩陣的秩相同。這正是現代方程組理論中的重要結果之一。大量的科學技術問題，最終往往歸結為解線性方程組。因此在線性程組的數值解法得到發展的同時，線性方程組解的結構等理論性工作也取得了令人滿意的進展。現在，線性方程組的數值解法在計算數學中占有重要地位。

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二次型

二次型也稱為“二次形式”。二次型的系統研究是從18世紀開始的，它起源于對二次曲線和二次曲面的分類問題的討論。將二次曲線和二次曲面的方程變形，選有主軸方向的軸作為坐標軸以簡化方程的形狀，這個問題是在18世紀引進的。柯西在其著作中給出結論：當方程是標準形時，二次曲面用二次項的符號來進行分類。然而，那時并不太清楚，在化簡成標準形時，為何總是得到同樣數目的正項和負項。西爾維斯特回答了這個問題，他給出了n個變數的二次型的慣性定理，但沒有證明。這個定理后被雅可比重新發現和證明。1801年，高斯在《算術研究》中引進了二次型的正定、負定、半正定和半負定等術語。

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P.S.1 2025年3月1日上午10點39分全篇文章收錄完畢，在夜間21點8分手動截圖添加一位位數學家的頭像。如該篇文章標題所示，博主首次看到這篇文章在本人2020年11月7日所購之書《線性代數的幾何意義》（任廣千）的附錄1，上一篇文章《線代[8]｜北大丘維聲教授《怎樣學習線性代數？》（紅色字體為博主本人注釋）》則是附錄2。博主本人看完這兩篇久矣，2025年2月末反復翻看該書時終歸還是動了收錄的念頭。「2025.3.1 21:21」