設有非等腰的 $△ABC$, $O$ 和 $I$ 分別為外心和內心. 在邊 $AC$, $AB$ 上分別存在兩點 $E$ 和 $F$, 使得 $CD+CE=AB$, $BF+BD=AC$. 設 $(BDF)$ 和 $(CDE)$ 交于 $D$, $P$. 求證: $OI=OP$.

證明:

不妨設 $C>B$

由密克定理可知 $A$, $F$, $P$, $E$ 共圓.

設射線 $AI$, $BI$, $CI$ 除端點外分別交 $(AEF)$, $(BFD)$, $(CDE)$ 于 $X$, $Y$, $Z$.

先證明 $I$, $X$, $Y$, $Z$ 共于一圓, 且該圓的圓心為 $O$.

根據三弦定理有, 這等價于:

$IX\sin (\frac{\pi }{2}?\frac{A}{2})+IY\sin (\frac{\pi }{2}?\frac{B}{2})=IZ\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{C}{2})$

整理得:

$IX\cos (\frac{A}{2})+IY\cos (\frac{B}{2})+IZ\cos (\frac{C}{2})=0$

根據三弦定理有:

$(BD+BF)\sin \frac{B}{2}=BY\sin B=>BY=\frac{b}{2\cos \frac{B}{2}}$

類似地, 可以證明 $AX=\frac{a}{2\cos \frac{A}{2}}$, $CZ=\frac{c}{2\cos \frac{C}{2}}$

所以

$IY\cos (\frac{B}{2})=(IB?BY)\cos (\frac{B}{2})=IB\cos \frac{B}{2}?\frac{b}{2}=(p?b)?\frac{b}{2}$

類似地, 可以證明 $IX\cos (\frac{A}{2})=(p?a)?\frac{a}{2}$
$IZ\cos (\frac{C}{2})=(p?c)?\frac{c}{2}$

所以 $IX\cos (\frac{A}{2})+IY\cos (\frac{B}{2})+IZ\cos (\frac{C}{2})=3p?(a+b+c)?\frac{a+b+c}{2}=0$

所以 $I$, $X$, $Y$, $Z$ 共圓.

易知若 $IX=2(OA\cos \angle OAI?AX)$, 則 $OI=OX$
易知 $\angle OAI=\frac{C?B}{2}$,

2 $OA\cos \angle OAI\cos (\frac{A}{2})=2OA\cos \frac{C?B}{2}\sin \frac{B+C}{2}=OA(\sin C?\sin B)=\frac{c?b}{2}$

2 $AX\cos \frac{A}{2}=a$

$IX\cos \frac{A}{2}=p?\frac{3a}{2}$

$IX\cos \frac{A}{2}?2$ [ $OA\cos \angle OAI\cos (\frac{A}{2})?AX\cos \frac{A}{2}$ ]= $p?\frac{3a}{2}?\frac{c?b}{2}?a=0$

所以 $IX=2(OA\cos \angle OAI?AX)$ 成立, 進而 $OI=OX$.

所以 $OI=OX$.

類似地, 還可以證明 $OI=OY$, $OI=OZ$.

所以該圓的圓心為 $O$.

$\angle FPX=\pi ?\frac{A}{2}$

$\angle FPY=\pi ?\frac{B}{2}$

$\angle XPY=\frac{\pi }{2}?\frac{C}{2}=\angle XZY$

所以 $P$ 在 $(XYZ)$ 上, 進而 $OI=OP$.

證畢.