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• 1.問題描述
• 2.問題分析
• 3.算法設計
• 4.確定程序框架
• 5.完整的程序
• 6.問題拓展
• 7.巧用字符串技巧

1．問題描述

打印所有不超過n（取n<256）的其平方具有對稱性質的數（也稱回文數）。

2．問題分析

對于要判定的數n，計算出其平方后（存于a），按照“回文數”的定義要將最高位與最低位、次高位與次低位等進行比較，若彼此相等則為回文數。此算法需要知道平方數的位數，再一一將每一位分解并比較，此方法對于位數已知且位數不是太多的數來說比較適用。

此問題可借助數組來解決。將平方后的數值（a）的每一位進行分解，按從低位到高位的順序依次暫存到數組中，再將數組中的元素按照下標從大到小的順序重新將其組合成一個數k（如n=15，則a=225且k=522），若a等于k則可判定n為回文數。

3．算法設計

從低位到高位將某個整數拆分。對于一個整數（設變量名為a），無論其位數多少，若欲將最低位拆分則只需對10進行求模運算，即a%10；拆分次低位首先要想辦法將原來的次低位作為最低位來處理，用原數對10求商可得到由除最低位之外的數形成的新數，且新數的最低位是原數的次低位，根據拆分最低位的方法將次低位求出，即先進行a//10運算，后進行a%10運算；對于其他位上的數算法相同。利用這個方法要解決的一個問題是，什么情況下才算把所有數都拆分完了呢？當拆分到只剩原數最高位時（即新數為個位數時），再對10求商的話，得到的結果肯定為0，可通過這個條件判斷是否拆分完畢。根據題意，應將每次拆分出來的數據存儲到數組中，原數的最低位存到下標為0的位置，次低位存到下標為1的位置，以此類推。程序段如下：

i = 0
while a != 0:                           # 從低位到高位分解數a的每一位，存于數組m[1]～m[16]m[i] = a % 10a //= 10i += 1

將數組中元素重新組合成一個新數。拆分時變量a的最高位仍然存儲在數組中下標最大的位置，根據“回文數”定義，新數中數據的順序與a中數據的順序相反，所以我們按照下標從大到小的順序分別取出數組中的元素組成新數k。由幾個數字組成一個新數時只需用每一個數字乘以所在位置對應的權值，然后相加即可，在編程過程中應該有一個變量t來存儲每一位對應的權值，個位權值為1，十位權值為10，百位權值為100，以此類推，所以可以利用循環，每循環一次，t的值就擴大10倍。對應的程序段如下：

while i > 0:k += m[i-1] * t # t記錄某一位置對應的權值t *= 10i -= 1

4．確定程序框架

程序的流程圖如圖所示。

5．完整的程序

%%time
# 回文數if __name__ == '__main__':m = [1] * 17count = 0print("No.    number     it's square(palindrome)")for n in range(1, 256):                                 # 窮舉n的取值范圍k, i, t, a = 0, 0, 1, n*n                   # 計算n的平方squ = awhile a != 0:                       # 從低到高分解數a的每一位存于數組m[1]～m[16]m[i] = a % 10a //= 10i += 1while i > 0:k += m[i-1] * t         # t記錄某一位置對應的權值t *= 10i -= 1if k == squ:count += 1print("%2d%10d%10d" % (count, n, n*n))

No.    number     it's square(palindrome)1         1         12         2         43         3         94        11       1215        22       4846        26       6767       101     102018       111     123219       121     14641
10       202     40804
11       212     44944
CPU times: user 2.72 ms, sys: 0 ns, total: 2.72 ms
Wall time: 1.99 ms

6．問題拓展

在上面的問題分析中，提到另一種判斷“回文數”的方法，就是將數據中每一位的數分離出來，然后比較對稱位置上的數據，若相等，則此數是“回文數”。此方法適合于對一個整數進行判斷。

編程實現輸入一個5位數，判斷它是不是回文數，例如12321是回文數，個位與萬位相同，十位與千位相同。

完整的程序如下：

%%time
# 回文數判斷if __name__ == '__main__':x = int(input("請輸入一個5位數整數："))if x < 10000 or x > 99999:print("輸入錯誤")else:ten_thousand = x // 10000                                   #拆分最高位萬位thousand = x % 10000 // 1000                        #拆分千位ten = x % 100 // 10                                         #拆分十位indiv = x % 10                                                      #拆分個位if indiv == ten_thousand and ten == thousand:print("%d是回文數" %x)else:print("%d不是回文數" %x)

12321是回文數
CPU times: user 60.4 ms, sys: 11.3 ms, total: 71.7 ms
Wall time: 5.86 s

對于本題來說，給定的是一個5位數，對于中間位置的百位不需要再進行分離，因為它不與任何其他位置進行比較。但對偶數位的整數進行判斷時，所有位置都要分離出來。在編程過程中除了保證程序的正確性外，效率也是很重要的。

7.巧用字符串技巧

本題編程只涉及整數回文數判斷，所以可以將整數轉換成字符串，再使用字符串的切片函數實現倒序，在判斷兩個字符串是否相等即可。

具體代碼如下：

a=12321
str_a=str(a)
str_a_reversed=str_a[::-1]
str_a_reversed
str_a==str_a_reversed

True

%%time
# 巧用字符串判斷回文數
if __name__ == '__main__':m = [1] * 17count = 0print("No.    number     it's square(palindrome)")for n in range(1, 256):                                 # 窮舉n的取值范圍m=pow(n,2)str_m=str(m)str_m_reversed=str_m[::-1]if str_m==str_m_reversed:count += 1print("%2d%10d%10d" % (count, n, n*n))

No.    number     it's square(palindrome)1         1         12         2         43         3         94        11       1215        22       4846        26       6767       101     102018       111     123219       121     14641
10       202     40804
11       212     44944
CPU times: user 509 μs, sys: 0 ns, total: 509 μs
Wall time: 493 μs