一、一階線性微分方程

兩種形式：

非齊次：????????

齊次：? ? ? ? ? ?

推導過程

推導公式的過程一般由特殊到一般：所以先求解齊次方程的解

?（然后對等式兩邊同時積分）

再來求非齊次方程的解，由齊次解中的常數c聯想非齊次方程中的Q(x)

c如果是關于x的方程，那么由這個解就能推出非齊次方程的形式

那么直接有推斷的式子;????????

由于這個式子同時出現了C(x)與p(x)的乘積，為了能結合原方程式（含有p(x)y 且不含C(x)p(x)），所以將(1)式左右同乘p(x)，并與(2)相加

?（將e移到右邊再同時積分）

?（再將這個C(x）代入解的式子中）

（最終解）

例題

• ?p(x) 是誰
• ?Q(x) 是誰
• 公式用哪個

?????????（兩邊求倒數，可以解出y關于x的解）

二、伯努利方程

1. 如果α=0，則是一階非齊次的形式
2. 如果α=1，則是一階齊次的形式
3. 故這里僅考慮α≠0,1的情況

推導過程

?（將右邊y項除到左邊）

注意到1-α剛好比-α高一次，如果換元可以大大簡化式子（令 z = y^(1-α) ）

這時候直接看作z與x的一階線性微分方程求解，最后根據z與y的關系回代即可得到最終解

1. 將y的次方移項
2. 換元
3. 看作新未知數的一階方程求解
4. 根據關系回代得到結果

例題

???????

?（兩邊求倒數后選擇將一個看作未知數，根據滿足伯努利公式形式的方程的解）

---

三、常系數齊次線性微分方程

二階常系數齊次線性方程

解法

1. 寫特征方程（改寫為 ）
2. 根據 △ 大于0（小于0、等于0）三種情況，代入三種根的解（r1、r2為特征方程的兩個根）
   1. ?時 直接根據中學的求根公式得到根
   2. 

????????

????????

????????

例題

求微分方程通解????????

1. 寫特征方程?
2. 改寫方程形式得到?
3. 這時可以看到是有r1=r2=0（二重實根），計算得到r3，r4為單復根
4. 結果?

暫時沒復習到線代部分，我看網課對這里的單復的理解就是，這個解如果有和它相等的，那這個就是復根，有多少個相同的就是多少重復根，這也能講得通為什么 △＞0時表現出來的是兩個單實根，而等于0時表現出來的是2重復根

四、常系數非齊次線性微分方程

這部分的教材資料可以參考下面這篇博客http://t.csdnimg.cn/Z9prHhttp://t.csdnimg.cn/Z9prH