高斯擴散過程是一種數學模型，用于描述某些隨機現象的時間演化，其中這些現象的概率密度函數（PDF）符合高斯分布，也稱為正態分布。在物理和工程學領域，此類過程通常被用來描述熱擴散、粒子擴散、概率密度演變等，比如某個物理量（如粒子的位置、溫度、濃度等）的分布隨時間發展趨向于或保持高斯分布（也稱為正態分布）。

高斯分布

高斯分布（或正態分布）是最重要的概率分布之一，在自然界和人類活動中非常普遍。其概率密度函數（PDF）由均值 $\mu$和方差 ${\sigma }^2$完全確定，表達式為：
$f(x|\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(?\frac{(x?\mu )2}{2{\sigma }^2}\right)$
其中 $x$ 是隨機變量，$\mu$是分布的均值，$\sigma$是分布的標準差。

高斯擴散過程的特點

1. 隨機游走: 在一維空間中，高斯擴散可以通過布朗運動或隨機游走來形象化。每一步的位移是隨機的，并且位移量是高斯分布的。
2. 無記憶性: 粒子在每一步的移動是獨立的，與先前的位置或路徑無關，遵循馬爾可夫性質。
3. 中心極限定理: 大量獨立隨機變量之和趨向于形成高斯分布，因此在許多獨立隨機事件的影響下，系統的行為往往表現為高斯擴散。
4. 連續路徑: 在高斯擴散過程中，粒子的路徑是連續的，不會出現突跳。

數學描述

數學上，高斯擴散過程可以通過連續時間隨機過程，如Wiener過程（或布朗運動）來描述。Wiener過程$W(t)$是一種連續時間隨機過程，它滿足以下條件：

• $W(0)=0$
• 對于任何時間 $t>s\ge 0$，增量 $W(t)?W(s)$ 都是均值為0，方差為 $t?s$ 的正態隨機變量。
• 對于 $0\le t_1<t_2<\dots <t_n$，增量 $W(t_1),W(t_2)?W(t_1),\dots ,W(t_n)?W(t_{n?1})$ 是相互獨立的。

擴散方程

物理擴散過程常常被描述為偏微分方程（PDE），諸如菲克定律或熱傳導方程。對于一維空間和均勻介質中的擴散，方程可以寫為：
$\frac{?u(x,t)}{?t}=D\frac{{?}^{2}u(x,t)}{?x^2}$
這里 $u(x,t)$ 表示在位置 $x$ 和時間 $t$ 的物理量（例如溫度、濃度等），$D$ 是擴散系數。

應用

高斯擴散模型在自然科學和工程學的許多領域都有廣泛的應用。例如：

• 在物理學中，高斯擴散用于描述熱能如何通過物質傳播。
• 在生物學中，用于描述分子通過細胞膜的滲透。
• 在金融數學中，布朗運動是對股價、利率等金融指標進行建模的基礎。

總的來說，高斯擴散過程是一個強大的工具，用以理解和建模現實世界中涉及隨機分布和傳播的現象。