一、問題描述

給定平面上的n個點，找其中的一對點，使得在n個點組成的所有點對中該點對間的距離最小。

二、解題思路及所選算法策略的可行性分析

思路：利用分治法來解決問題。遞歸子結構求最接近點對總體可分為幾個步驟：

1、當問題規模小于20，直接求解最小點對

2、將n個點組成的集合S分成2個子集S1和S2

3、遞歸求出兩個子集中的最接近點對并比較出最小點對，記錄距離dmin

4、以X坐標為基準找到所有點中線，在中線附近找出相距可能小于dmin的點對點，記錄于S3和S4

5、求S3和S4每點對距離，和dmin進行比較，求解最接近點對

策略可行性分析：

設直線l上有2m個點，以m為中點將l分割成兩條線段dl,dr，然后求出dl和dr這兩點條線段中的最小點距d1,d2，此時d=min{d1,d2}，再通過計算出dl線段的中最大點與dr線段中的最小點之間的距離D，最小距離則為min{d,D}.

二維情況與此相似，最大的區別只是對于中線位置的點，二維情況只是針對中線旁好多可能點，再在Y軸方向上進行點的篩選，以減少平方計算次數。

三、偽代碼描述及復雜度分析

Public static double closestPoint(S)

{

1、首先，遞歸結束條件，當數組長度在一定范圍內時直接求出最近點，蠻力求解

2、求所有點在X坐標中的中位數midX

3、以midX為界將所有點分成兩組分別存放在兩個表中

4、將兩張表轉化為數組類型，并分別按X坐標升序排列

5、求S1中的最近距離的兩個點

6、求S2中的最近距離的兩個點

7、求兩最近距離的最小值

8、在S1、S2中收集距離中線小于d1的點，分別存放于兩個表中

9、分別將表T3、T4轉換為數組類型的S3、S4，并將其分別按Y坐標升序排列

10、求解S3、S4兩者之間可能的更近(相比于d1)距離 , 以及構成該距離的點

}

復雜度分析：

設算法耗時T(n)。 算法第1步、第2步、第3步和第8步用了O(n)時間。第7步和第10步用了常數時間。第4步和第9步用了O(nlogn)時間。第5步和第6步分別用了T(n/2)時間。不過第4步和第9步是數組的排序預處理時間，所以不算在算法中。所以經由預處理的算法所需計算時間滿足遞歸方程：

T(n)={?? O(1)????????? n<4

2T(n/2)+O(n)?? n>=4

由此，T(n)=O(nlogn)。

代碼實現

dcPoint.java

package 分治法;

public class dcPoint implements Cloneable, Comparable{

public dcPoint() {

x = 0;

y = 0;

}

public dcPoint(int x, int y) {

this.x = x;

this.y = y;

}

public void setX(int x) {

this.x = x;

}

public void setY(int y) {

this.y = y;

}

public int getX() {

return x;

}

public int getY() {

return y;

}

private int x;

private int y;

@Override

public int compareTo(dcPoint o) {

if(x == o.getX() && y == o.getY())

return 0;

else

return 1;

}

}

NPointPair.java

package 分治法;

import java.util.ArrayList;

import java.util.Random;

import java.util.Set;

import java.util.TreeSet;

public class NPointPair {

/**

* 最近點問題

* @param S

*/

public static dcPoint[] closestPoint(dcPoint [] S){

dcPoint[] result = new dcPoint[2];

/**

* 0.首先，解決該問題的邊界，當數組長度在一定范圍內時直接求出最近點，蠻力求解

*/

double dmin = Double.POSITIVE_INFINITY;

double tmpmin = 0;

if(S.length <= 20){

for(int i = 0; i < S.length; i ++){

for(int j = i + 1; j < S.length; j ++){

tmpmin = Math.sqrt(Math.pow(S[i].getX() - S[j].getX(), 2)) + Math.pow(S[i].getY() - S[j].getY(), 2);

if(tmpmin < dmin){

dmin = tmpmin;

result[0] = S[i];

result[1] = S[j];

}

}

}

return result;

}

/**

*1.求所有點在X坐標的中位數

*/

int minX = (int) Double.POSITIVE_INFINITY;//保證假設的初始最小值足夠大

int maxX = (int) Double.NEGATIVE_INFINITY;//保證假設的初始最大值足夠小

for(int i = 0; i < S.length; i++){

if(S[i].getX() < minX)

minX = S[i].getX();

if(S[i].getX() > maxX)

maxX = S[i].getX();

}

int midX = (minX + maxX)/2;

/**

* 2.以midX為界將所有點分成兩組分別存放在兩個表中

*/

ArrayList T1 = new ArrayList();

ArrayList T2 = new ArrayList();

for(int i = 0; i < S.length; i++){

if(S[i].getX() <= midX)//是否要=號？

T1.add(S[i]);

if(S[i].getX() > midX)

T2.add(S[i]);

}

/**

* 3.將兩張表轉化為數組類型，并分別按X坐標升序排列

*/

dcPoint [] S1 = new dcPoint[T1.size()];

dcPoint [] S2 = new dcPoint[T2.size()];

T1.toArray(S1);

T2.toArray(S2);

mergeSort(S1, "x");//按X坐標升序排列

mergeSort(S2, "x");//按X坐標升序排列

/**

* 4.求S1中的最近距離的兩個點

*/

dcPoint[] result1 = new dcPoint[2];

result1 = closestPoint(S1);

/**

* 5.求S2中的最近距離的兩個點

*/

dcPoint[] result2 = new dcPoint[2];

result2 = closestPoint(S2);

/**

* 6.求兩最近距離的最小值

*/

double d1 = Math.sqrt(Math.min(Math.pow(result1[0].getX() - result1[1].getX(), 2) + Math.pow(result1[0].getY() - result1[1].getY(), 2),

Math.pow(result2[0].getX() - result2[1].getX(), 2) + Math.pow(result2[0].getY() - result2[1].getY(), 2)));

if(Math.pow(result1[0].getX() - result1[1].getX(), 2) + Math.pow(result1[0].getY() - result1[1].getY(), 2) <

Math.pow(result2[0].getX() - result2[1].getX(), 2) + Math.pow(result2[0].getY() - result2[1].getY(), 2))

result = result1;

else

result = result2;

/**

* 7.在S1、S2中收集距離中線小于d1的點，分別存放于兩個表中

*/

ArrayList T3 = new ArrayList();

ArrayList T4 = new ArrayList();

for(int i = 0; i < S1.length; i++){

if(midX - S1[i].getX() < d1)

T3.add(S1[i]);

}

for(int i = 0; i < S2.length; i++){

if(S2[i].getX() - midX < d1){

T4.add(S2[i]);

}

}

/**

* 8.分別將表T3、T4轉換為數組類型的S3、S4，并將其分別按Y坐標升序排列

*/

dcPoint [] S3 = new dcPoint [T3.size()];

dcPoint [] S4 = new dcPoint [T4.size()];

T3.toArray(S3);

T4.toArray(S4);

mergeSort(S3, "y");

mergeSort(S4, "y");

/**

* 求解S3、S4兩者之間可能的更近(相比于d1)距離 , 以及構成該距離的點

*/

double d = Double.POSITIVE_INFINITY;

for(int i = 0; i < S3.length; i ++){

for(int j = 0; j < S4.length; j ++){

if(Math.abs(S3[i].getY() - S4[j].getY()) < d1){

double tmp = Math.sqrt(Math.pow(S3[i].getX() - S4[j].getX(), 2) + Math.pow(S3[i].getY() - S4[j].getY(), 2));

if(tmp < d){

d = tmp;

result[0] = S3[i];

result[1] = S4[j];

}

}

}

}

return result;

}

//歸并排序

private static void mergeSort(dcPoint[] a, String property){

dcPoint[] tempArray = new dcPoint[a.length];

mergeSort(a, tempArray, 0, a.length - 1, property);

}

private static void mergeSort(dcPoint[] a, dcPoint [] tempArray, int left, int right, String property){

if(left < right){

int center = (left + right) >> 1;

//分治

mergeSort(a, tempArray, left, center, property);

mergeSort(a, tempArray, center + 1, right, property);

//合并

merge(a, tempArray, left, center + 1, right, property);

}

}

private static void merge(dcPoint [] a, dcPoint [] tempArray, int leftPos, int rightPos, int rightEnd, String property){

int leftEnd = rightPos - 1;

int numOfElements = rightEnd - leftPos + 1;

int tmpPos = leftPos;//游標變量, 另兩個游標變量分別是leftPos 和 rightPos

while(leftPos <= leftEnd && rightPos <= rightEnd){

if(property.equals("x")){

if(a[leftPos].getX() <= a[rightPos].getX())

tempArray[tmpPos++] = a[leftPos++];

else

tempArray[tmpPos++] = a[rightPos++];

}else if(property.equals("y")){

if(a[leftPos].getY() <= a[rightPos].getY())

tempArray[tmpPos++] = a[leftPos++];

else

tempArray[tmpPos++] = a[rightPos++];

}else

throw new RuntimeException();

}

while(leftPos <= leftEnd)

tempArray[tmpPos++] = a[leftPos++];

while(rightPos <= rightEnd)

tempArray[tmpPos++] = a[rightPos++];

//將排好序的段落拷貝到原數組中

System.arraycopy(tempArray, rightEnd-numOfElements+1, a, rightEnd-numOfElements+1, numOfElements);

}

public static void main(String[] args) {

Set testData = new TreeSet();

Random random = new Random();

int x = 0;

int y = 0;

for(int i = 0;i < 50;i++){

x = random.nextInt(500);

y = random.nextInt(500);

System.out.println("x:" + x + " y:" + y);

testData.add(new dcPoint(x, y));

}

dcPoint [] S = new dcPoint[testData.size()];

S = (dcPoint[]) testData.toArray(S);

for(int i = 0; i < S.length; i ++){

System.out.println("(" + S[i].getX() + ", " + S[i].getY() + ")");

}

System.out.println(testData.size());

dcPoint [] result = new dcPoint [2];

result = closestPoint(S);

System.out.println("最近的兩點分別是(" + result[0].getX() + ", " + result[0].getY()

+ ") 和 (" + result[1].getX() + ", " + result[1].getY() + "), 最近距離為："

+ Math.sqrt(Math.pow(result[0].getX() - result[1].getX(), 2) + Math.pow(result[0].getY() - result[1].getY(), 2)));

}

}