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中國剩余定理
中國剩余定理可以描述為：
若某數x分別被d1、、…、dn除得的余數為r1、r2、…、rn，則可表示為下式：
x=R1r1+R2r2+…+Rnrn+RD
其中R1是d2、d3、…、dn的公倍數，而且被d1除，余數為1；（稱為R1相對于d1的數論倒數）
R1?、
R2?、
…??、
Rn是d1、d2、…、dn-1的公倍數，而且被dn除，余數為1；
D是d1、d2、…、的最小公倍數；
R是任意整數（代表倍數），可根據實際需要決定；
且d1、、…、必須互質，以保證每個Ri(i=1,2，…，n)都能求得.
（注：因為R1對d1求余為1，所以R1r1對d1求余為r1，這就是為什么是R1對d1求余為1的目的，其次，R2r2,R3r3…Rnrn對d1求余都是0）
?
如要討論中國利余定理，同余（congruence）的概念可算是必須。
給定一個正整數n，我們說兩個數a、b是對模n同余，如果a-b是n的倍數。用符號a≡b(mod?n)來代表。一般來說，a≡b(mod?n)等同于a＝b+kn，而a，b，k，n都是整數，所以，13≡1(mod?6)、19≡1(mod?6)。?
但同余并不只是一個代號，而是有很方便和有趣的特性。（一）整數加法跟普通加法相似，a+c≡(b+c)(mod?n)；（二）整數乘法跟普通乘法相似，ac≡bc(mod?n)，而a，b，c，n都是整數。但如果ac≡bc(mod?n)，則不一定a≡b(mod?n)。?
以「鬼谷算」為例，假設x是那個未知數，而除3，5，7后的余數分別為r1，r2，r3。因此有?
x≡r1(mod?3)?
?
x≡r2(mod?5)?
?
x≡r3(mod?7)?
?
而另一方面
70＝(5x7)x2≡1(mod?3)、70≡0(mod?5)及70≡0(mod?7)?
?
21＝(3x7)x1≡1(mod?5)、21≡0(mod?3)及21≡0(mod?7)?
?
15＝(3x5)x1≡1(mod?7)、15≡0(mod?3)及15≡0(mod?5)?
?
所以
x≡70r1+21r2+15r3+3m
x≡70r1+21r2+15r3+5n
x≡70r1+21r2+15r3+7p
?最后得到這個精彩的結果，x≡(70r1+21r2+15r3)(mod?105)，而105正便是3，5，7的最小公偣數。所以其實在很多數字可以滿足這幾個余數條件的，要找到最小值才要減105。
?
對于中國剩余定理有個簡單理解并記憶的方法：
中國剩余定理的思想在于先找到一個滿足條件的數，不管是不是最小的，如果不是最小的就不斷減公倍數，中國剩余定理的巧妙在于把滿足條件的數分成三個部分相加，例如：
假設滿足條件的數為：M=3*5*a+5*7*b+3*7*c
先讓它滿足條件1：除以3余1，我們看M的第一部分和第三部分能被3整除，只要第二部分除以3余1就行了，選擇b=2就滿足
再滿足條件2：除以5余2，考慮第三部分就行了，選擇c=2就滿足
最后滿足條件3：除以7余3，考慮第一部分就行了，選擇a=3
這樣M=3*5*3+5*7*2+3*7*2=157，比公倍數大，減去公倍數，157-105=52是滿足條件最小數
?
以我個人理解寫成下面這個形式（以3個數為例）
X被a,b,c處分別余r1,r2,r3。表示為：
X%a = r1?????????????????????x%b = r2?????????????????????x%c = r3
bc*k1 % a = 1?????ac*k3 % b = 1?????ab*k3 % c = 1
所以
x = bc * k1 * r1 + ac * k2 * r2 + ab * k3 * r3
