快速冪總結

快速冪總結

快速冪這個東西比較好理解，但實現起來到不老好辦，記了幾次老是忘，今天把它系統的總結一下防止忘記。

　　首先，快速冪的目的就是做到快速求冪，假設我們要求a^b,按照樸素算法就是把a連乘b次，這樣一來時間復雜度是O(b)也即是O(n)級別，快速冪能做到O(logn)，快了好多好多。它的原理如下：

　　假設我們要求a^b，那么其實b是可以拆成二進制的，該二進制數第i位的權為2^(i-1)，例如當b==11時

?a¹¹=a^{(2^0+2^1+2^3)}

11的二進制是1011，11 = 23×1 + 22×0 + 21×1 + 2o×1，因此，我們將a11轉化為算 a^{2^0}*a^{2^1}*a^{2^3}，也就是a¹*a²*a⁸?

，看出來快的多了吧原來算11次，現在算三次，但是這三項貌似不好求的樣子....不急，下面會有詳細解釋。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

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由于是二進制，很自然地想到用位運算這個強大的工具：&和>> ? ?

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&運算通常用于二進制取位操作，例如一個數 & 1 的結果就是取二進制的最末位。還可以判斷奇偶x&1==0為偶，x&1==1為奇。

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>>運算比較單純,二進制去掉最后一位，不多說了，先放代碼再解釋。

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 1 int poww(int a,int b){//求a的b次方2     int ans=1,base=a;3     while(b!=0){4         if(b&1!=0)5         　　ans*=base;6         base*=base;7         b>>=1;8　　 }9     return ans;
10 }

　　代碼很短，死記也可行，但最好還是理解一下吧，其實也很好理解，以b==11為例，b=>1011,二進制從右向左算，但乘出來的順序是?a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是從左向右的。我們不斷的讓base*=base目的即是累乘，以便隨時對ans做出貢獻。

　　其中要理解base*=base這一步：因為 base*base==base²，下一步再乘，就是base²*base²==base⁴，然后同理 ?base⁴*base⁴=base⁸，由此可以做到base-->base²-->base⁴-->base⁸-->base¹⁶-->base³².......指數正是?2^i ，再看上面的例子，a11= a¹*a²*a⁸，這三項就可以完美解決了，快速冪就是這樣。

　　順便啰嗦一句，由于指數函數是爆炸增長的函數，所以很有可能會爆掉int的范圍，根據題意選擇 long long還是mod某個數自己看著辦。

　　矩陣快速冪也是這個道理，下面放一個求斐波那契數列的矩陣快速冪模板

 1 #include<iostream>2 #include<cstdio>3 #include<cstring>4 #include<cmath>5 #include<algorithm>6 using namespace std;7 const int mod = 10000;8 const int maxn = 35;9 int N;
10 struct Matrix {
11     int mat[maxn][maxn];
12     int x, y;
13     Matrix() {
14         memset(mat, 0, sizeof(mat));
15         for (int i = 1; i <= maxn - 5; i++) mat[i][i] = 1;
16     }
17 };
18 inline void mat_mul(Matrix a, Matrix b, Matrix &c) {
19     memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));
20     c.x = a.x; c.y = b.y;
21     for (int i = 1; i <= c.x; i++) {
22         for (int j = 1; j <= c.y; j++) {
23             for (int k = 1; k <= a.y; k++) {
24                 c.mat[i][j] += (a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % mod;
25                 c.mat[i][j] %= mod;
26             }
27         }
28     }
29     return;
30 }
31 inline void mat_pow(Matrix &a, int z) {
32     Matrix ans, base = a;
33     ans.x = a.x; ans.y = a.y;
34     while (z) {
35         if (z & 1 == 1) mat_mul(ans, base, ans);
36         mat_mul(base, base, base);
37         z >>= 1;
38     }
39     a = ans;
40 }
41 int main() {
42     while (cin >> N) {
43         switch (N){
44             case -1: return 0;
45             case 0: cout << "0" << endl; continue; 
46             case 1: cout << "1" << endl; continue;
47             case 2: cout << "1" << endl; continue;
48         }
49         Matrix A, B;
50         A.x = 2; A.y = 2;
51         A.mat[1][1] = 1; A.mat[1][2] = 1;
52         A.mat[2][1] = 1; A.mat[2][2] = 0;
53         B.x = 2; B.y = 1;
54         B.mat[1][1] = 1; B.mat[2][1] = 1;
55 
56         mat_pow(A, N - 1);
57         mat_mul(A, B, B);
58         cout << B.mat[1][1] << endl;
59 
60     }
61     return 0;
62 }

?

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洛谷P1962 斐波那契數列

題目背景

大家都知道，斐波那契數列是滿足如下性質的一個數列：

? f(1) = 1

? f(2) = 1

? f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 2 且 n 為整數)

題目描述

請你求出 f(n) mod 1000000007 的值。

輸入輸出格式

輸入格式：

?

·第 1 行：一個整數 n

?

?輸出格式：

?

第 1 行： f(n) mod 1000000007 的值

?

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：?復制

5

輸出樣例#1：?復制

5

輸入樣例#2：?復制

10

輸出樣例#2：?復制

55

說明

對于 60% 的數據： n ≤ 92

對于 100% 的數據： n在long long(INT64)范圍內。

首先看到數據范圍，longlong以內，故我們考慮矩陣加速動態規劃。

我們都知道斐波那契數列有這樣的一個動態轉移方程：f[i]=f[i-1]+f[i-2];

由此可以推出一個2×2的矩陣：1 1 1 0

然后就是套用矩陣快速冪的模板來加速。

以下是代碼：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;
typedef long long lol;

lol n;
lol mod=1e9+7;
lol f[3][3],ans[3]={0,1,1};

void lu() {
lol t[3]={0};
for (int i=1;i<=2;i++)
for (int j=1;j<=2;j++)
t[i]=(t[i]+(ans[j]*f[j][i])%mod)%mod;
memcpy(ans,t,sizeof(ans));
}

void ge() {
lol t[3][3]={0};
for (lol i=1;i<=2;i++)
for (lol j=1;j<=2;j++)
for (lol k=1;k<=2;k++)
t[i][j]=(t[i][j]+(f[i][k]*f[k][j])%mod)%mod;
memcpy(f,t,sizeof(f));
}

int main() {
cin>>n;
if (n==1||n==2||!n) {
cout<<'1'<<endl;
exit(0);
}
n--;
f[1][1]=1;f[1][2]=1;
f[2][1]=1;f[2][2]=0;
while (n) {
if (n&1) lu();
ge();n>>=1;
}
cout<<ans[2]<<endl;
return 0;
}

?