題意
給定\(n\)個點和\(m\)條無向邊（\(n\le 3000\)），需要將這\(n\)個點連通。但是有\(Q\)次（\(Q\le 10^4\)）等概率的破壞，每次破壞會把\(m\)條邊中的某條邊的權值增大某個值，求\(Q\)次破壞每次將\(n\)個點連通的代價的期望？（全題的數據范圍在int內可以過）
分析
這題是真的牛逼，我看了七八個博客都沒看太明白，大多數人都沒講在點子上，但是還是有幾篇博客不錯的，參考如下：
參考A：https://blog.csdn.net/u014664226/article/details/49333081
參考B：https://blog.csdn.net/Anxdada/article/details/81086041
參考C：https://blog.csdn.net/ramay7/article/details/52236040 （這個是最好的，強烈推薦）
參考D：https://blog.csdn.net/gatevin/article/details/47042021 （有一些“實質上”的東西）
接下來說說我綜合這些參考后自己對這題的理解與做法。
求期望的意思是，將每次破壞后的最小生成樹的代價累加除以\(Q\)。然后我們仔細思考一下這個破壞。首先，如果更改發生在不是最小生成樹上的邊上，那么答案是不需要改變的。重點是改變發生在這棵生成樹上的邊中的情況下。此時這棵最小生成樹會分成兩棵樹。顯然地，新圖的最小生成樹一定包含這兩棵樹上的所有邊。問題于是轉化為原來的最小生成樹被切成兩棵樹之后，如何選擇權值最小的一條邊將兩棵樹連通。
這里因此運用了樹形dp。這里比較精彩：
我們記\(dp[i][j]\)是切斷\((i,j)\)邊后，i與j兩個所在點的集合間的最短距離。但是我們不去直接這么搜索，而是去搜索i所在樹的樹根與j所在子樹的每一個點的最短距離。于是我們將每個點當作樹根進行DFS，在更新（搜索）時，我們用j所在子樹所有點同root的直接距離更新掉dp數組，并有意歸避掉\((i,j)\)邊。可以想見，當第\(i\)輪更新完成，dp中一定保存了第1個到第\(i\)個root到他們相關點的最短距離。那么對每個點都dp過后，最后dp數組里面一定保存的就是我們要的東西了。
最后對每個查詢做修正就可以了，具體見代碼。真實樹形dp+最小生成樹好題，就是做的頭疼，哈哈。
代碼
/* ACM Code written by Sam X or his teammates.* Filename: hdu4126.cpp* Date: 2018-11-18*/#include <bits/stdc++.h>#define INF 0x3f3f3f3f
#define PB emplace_back
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define rep(i,a,b) for(repType i=(a); i<=(b); ++i)
#define per(i,a,b) for(repType i=(a); i>=(b); --i)
#define ZERO(x) memset(x, 0, sizeof(x))
#define MS(x,y) memset(x, y, sizeof(x))
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()#define QUICKIO \ios::sync_with_stdio(false); \cin.tie(0); \cout.tie(0);
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__), fflush(stderr)using namespace std;
using pi=pair<int,int>;
using repType=int;
using ll=long long;
using ld=long double;
using ull=unsigned long long;int n,m;struct Edge
{int u,v,w;Edge() {}Edge(int _u,int _v, int _w):u(_u), v(_v), w(_w) {}bool operator < (const Edge& rhs) const{if(w==rhs.w){return u<rhs.u;}else return w<rhs.w;}
};
const int MAXN=3005;
vector<Edge> edges;
int mat[MAXN][MAXN];
int used[MAXN][MAXN];int edges_ord[18000005];
int pa[MAXN];
vector<Edge> nedges;
vector<int> nG[MAXN];
inline void nadd_edge(int u,int v,int w)
{nedges.PB(u,v,w);nG[u].PB(int(nedges.size())-1);
}
int find_pa(int x)
{return pa[x]==x?x:pa[x]=find_pa(pa[x]);
}
inline void union_pa(int x,int y)
{int fx=find_pa(x),fy=find_pa(y);if(fx!=fy) pa[fx]=fy;
}
inline int kruskal()
{int ret=0;iota(pa,pa+n,0);sort(ALL(edges));rep(i,0,edges.size()-1){int u=edges[i].u,v=edges[i].v,w=edges[i].w;if(find_pa(u)!=find_pa(v)){union_pa(u,v);ret+=w;used[u][v]=used[v][u]=w;nadd_edge(u,v,w);nadd_edge(v,u,w);}}return ret;
}int dp[MAXN][MAXN];
int dfs(int root, int now, int pre)
{//cout<<root<<" "<<now<<" "<<pre<<endl;int ans=INF;rep(i,0,int(nG[now].size())-1){int& v=nedges[nG[now][i]].v;if(v!=pre){int tmp=dfs(root,v,now);ans=min(ans,tmp);dp[now][v]=dp[v][now]=min(dp[now][v], tmp);}}if(root!=pre && pre!=-1){ans=min(ans, mat[now][root]);}return ans;
}inline void init()
{edges.clear();nedges.clear();rep(i,0,n-1) nG[i].clear();MS(dp,0x3f);MS(used,-1);MS(mat,0x3f);
}int main()
{while(scanf("%d%d",&n,&m)==2){if(!n && !m) break;init();rep(i,0,m-1){int u,v,w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);edges.PB(u,v,w);mat[u][v]=mat[v][u]=w;}int sum=kruskal();rep(i,0,n-1)dfs(i,i,-1);int q;scanf("%d",&q);double ans=0;rep(i,0,q-1){int u,v,w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);if(used[u][v]!=-1) ans+=sum-used[u][v]+min(dp[u][v], w);else ans+=sum;}printf("%.4lf\n",ans/(1.0*q));}return 0;
}
