【PKUSC2019】線弦圖【計數】【樹形DP】【分治FFT】

Description

定義線圖為把無向圖的邊變成點，新圖中點與點之間右邊當且僅當它們對應的邊在原圖中有公共點，這樣得到的圖。
定義弦圖為不存在一個長度大于3的純環，純環的定義是在環上任取兩個不相鄰的點，它們之間都沒有邊，也就是不存在沒有弦的環的無向圖。

現在給出一棵n個點的樹，你可以在上面添加任意多條邊（不能重邊），要求得到的圖的線圖是弦圖，求加邊的方案數。
n<=200000

Solution

畫圖可以發現，一個無向圖的線圖是弦圖的充要條件就是不存在長度大于3的環（不一定是純環）

也就是說，我們加邊只能加成三角形，并且加的邊還不能交叉。
轉化后的題意等價于將樹上的邊分成若干個集合，每個集合要么是單獨一條邊，要么是兩條相鄰的邊，問方案數。

\(O(n^2)\)的暴力呼之欲出，我們記\(f[i][0/1]\)表示處理完\(i\)的子樹，\(i\)向父親的這條邊是否與子樹內的邊組合了。

轉移的時候，我們只需要知道所有兒子中有幾個0，也就是有幾條邊需要我們來分配。

不妨再DP預處理出一個數組\(g[i][0/1]\)，表示一個點下面掛著i條邊，要分配集合，i的父親邊是否參與的方案數。

我們考慮每次新加一條邊，要么自成集合，要么與之前的某一個組合，有
\(g[i][0]=g[i-1]+g[i-2][0]*(i-1),g[i][1]=g[i-1][0]*i\)

由于只要知道有幾個0，這顯然可以分治NTT優化，這樣就做完了。
時間復雜度\(O(n\log^2 n)\)

Code

以下代碼未經測試，完全不能保證正確性。
（慘遭證偽，請勿參考）

#include <bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define N 200005
#define M 524288
using namespace std;
const int mo=998244353;
typedef long long LL;
int n,m1,fs[N],nt[2*N],dt[2*N];
LL f[N][2],g[N];
LL ksm(LL k,LL n)
{LL s=1;for(;n;n>>=1,k=k*k%mo) if(n&1) s=s*k%mo;return s;
}
void link(int x,int y)
{nt[++m1]=fs[x];dt[fs[x]=m1]=y;
}
namespace poly
{int len,st[N],le[N],a[M+1];int u1[M+1],u2[M+1],l2[M+1],cf[20],wg[M+1],wi[M+1],ny[M+1],bit[M+1];void init(){fo(i,0,18) l2[cf[i]=(1<<i)]=i;fod(i,M-1,2) if(!l2[i]) l2[i]=l2[i+1];wg[0]=1,wg[1]=ksm(3,(mo-1)/M);ny[1]=1;fo(i,2,M) wg[i]=(LL)wg[i-1]*wg[1]%mo,ny[i]=(-(LL)ny[mo%i]*(mo/i)%mo+mo)%mo;}void prp(int num){int p=M/num,w=cf[l2[num]-1];fo(i,0,num-1) bit[i]=(bit[i>>1]>>1)|((i&1)<<w),wi[i]=wg[i*p];}int inc(int x,int y) {x+=y;return(x>=mo)?x-mo:x;}int dec(int x,int y) {x-=y;return(x<0)?x+mo:x;}void DFT(int *a,int num){fo(i,0,num-1) if(i<bit[i]) swap(a[i],a[bit[i]]);for(int h=1,l=num>>1;h<num;h<<=1,l>>=1){for(int j=0;j<num;j+=(h<<1)){int *x=a+j,*y=x+h,*w=wi,v;for(int i=0;i<h;i++,x++,y++,w+=l){v=(LL)(*x)*(*y)%mo;*y=dec(*x,v),*x=inc(*x,v);}}}}void IDFT(int *a,int num){DFT(a,num);fo(i,0,num-1) a[i]=(LL)a[i]*ny[num]%mo;reverse(a+1,a+num);}void doit(int l,int r){if(l==r) return; int mid=(l+r)>>1;doit(l,mid),doit(mid+1,r);int num=cf[l2[le[l]+le[mid+1]-1]];prp(num);memset(u1,0,4*num),memset(u2,0,4*num);fo(i,0,le[l]-1) u1[i]=a[st[l]+i];fo(i,0,le[mid+1]-1) u2[i]=a[st[mid]+i];DFT(u1,num),DFT(u2,num);fo(i,0,num-1) u1[i]=(LL)u1[i]*u2[i]%mo;IDFT(u1,num);le[l]+=le[mid+1]-1;fo(i,0,le[l]-1) a[st[l]+i]=u1[i];}
}
using namespace poly;void dfs(int k,int fa)
{for(int i=fs[k];i;i=nt[i]) {int p=dt[i];if(p!=fa) dfs(p,k);}len=0;int cnt=0;for(int i=fs[k];i;i=nt[i]){int p=dt[i];if(p!=fa){cnt++;a[st[cnt]=len++]=f[p][1];a[len++]=f[p][0];le[cnt]=2;}}if(!cnt) f[k][0]=1;else{doit(1,cnt);f[k][0]=f[k][1]=0;fo(i,0,le[1]-1){f[k][0]=(f[k][0]+(LL)a[i]*g[i])%mo;if(i) f[k][1]=(f[k][1]+(LL)a[i]*g[i-1]%mo*(LL)i)%mo;}}
}
int main()
{cin>>n;fo(i,1,n-1){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);link(x,y),link(y,x);}g[0]=1,g[1]=1;fo(i,2,n) g[i]=(g[i-1]+g[i-2]*(i-1))%mo;init();dfs(1,0);printf("%lld\n",f[1][0]);
}