特征方程是為研究相應的數學對象而引入的一些等式，這些等式描述了特定對象的特性。依據研究的對象不同，特征方程包括數列特征方程、矩陣特征方程、微分方程特征方程、積分方程特征方程等等。

1.數列特征方程

數列的特征方程 可以用于求導 數列通項公式。
數列的二階線性推導：
$$a_{n+1}=p{a}_n+q{a}_{n?1}$$
由待定系數法，對比下列等比公式:
$$a_{n+1}?t{a}_n=s(a_n?t{a}_{n?1})$$
可得：
$$\{\begin{array}{rlr}p& =& s+t...(1)\\ y& =& st...(2)\end{array}$$
一般情況下上面方程組有兩組不同的解$(t_1,s_1)(t_2,s_2)$（特殊情況詳見參考資料），依據等比數列通項公式可得嗎：
$$\{\begin{array}{rlr}{a}_{n+1}?t_1{a}_n& =& (a_2?t_1{a}_1)s_1^{n?1}...(3)\\ a_{n+1}?t_2{a}_n& =& (a_2?t_2{a}_1)s_2^{n?1}...(4)\end{array}$$
(3)-(4)化簡得：
$$a_n=\frac{a_2?t_1{a}_1}{(t_2?t_1)s_1}{s}_1^n+\frac{a_2?t_2{a}_1}{(t_2?t_1)s_1}{s}_2^n=c_1{s}_1^n+c_2{s}_2^n$$
即只需知道$s_1,s_2$，通過初始條件($a_1,a_2$的已知值)求解系數$c_1,c_2$即可。

好像求到這里沒有數列特征方程什么事啊！那數列的特征方程是怎么回事呢？其實，$s_1,s_2$是求數列特征方程的根。

通過求解第一個方程組可以求得s，將(2)式子帶入(1)式，消去t，方程組變為求解下面二元一次方程：
$$s^2?ps?q=0$$

此方程即定義為數列二階線性推到的特征方程。

以上推導過程，總結由數列的二次遞推式$a_{n+1}=p{a}_n+q{a}_{n?1}$ 求解 通項公式的步驟：
step1:求解數列特征方程$s^2?ps?q=0?>(s_1,s_2)$
step2:由初始條件求解$c_1,c_2$
step3: 通項公式為$a_n=c_1{s}_1^n+c_2{s}_2^n$

參考資料:
https://wenku.baidu.com/view/8824638caef8941ea76e0592.html
https://blog.csdn.net/qq_20340417/article/details/78433961

2.矩陣特征方程

（矩陣的特征方程是我最經常看到的特征方程，在寫這篇文章之前。我一直以為特征方程指的就是矩陣的特征方程。咦，閑話不多說）

矩陣的特征方程 可以用于求解矩陣的特征值。

每個事物都具有許多的特征，這些特征用于表示該事物的某些屬性，矩陣也不例外地具有許多特征。在一個方陣A的眾多特征中，其 特征值與特征向量 是兩個比較典型的特征。一個方陣A的特征值$\lambda$與特征向量$x$為滿足下式：
$$Ax=\lambda x...(2.1)$$

上式的幾何含義：對向量$x$做變換$A$，其效果等價于對$x$做伸縮變換，伸縮系數為$\lambda$。

特征值和特征向量的定義和幾何意義很明確，那么如何求解$x,\lambda$
呢？將(2.1)式移項得：
$$Ax?\lambda x=0?>(A?\lambda I)x=0...(2.2)$$
如果特征向量$x=[x_1,x?2,...,x_n]$為n維向量，那么對式(2.2)求解$x$的過程 等價于 求解一個n元一次方程組。n元一次方程組有非零解的 充要條件 為：系數矩陣的行列式為0，即：
$$|A?\lambda I|=0...(2.3)$$

式子(2.3)即為矩陣A的特征方程。

以上推導過程，總結求解方陣A 特征值與特征多項式的步驟：
step1:求解特征方程：$|A?\lambda I|=0$
step2:帶$\lambda$入(2.2)式求解特征向量$x$

參考資料：https://baike.baidu.com/item/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC/8309765?fr=aladdin

3.微分方程特征方程

微分方程的特征方程可以用于求解 二階 常系數 齊次 常微分方程。

微分方程指含有未知函數及其導數的關系式，如：
$$\frac{dy}{dx}=2x..(3.1)$$

解微分方程就是找出未知函數，如：
$$y=x^2+C$$

$C$由微分方程的約束條件確定。

微分方程的階數由方程中函數的幾次導數決定,（3.1）式子為階微分方程；只含有一個未知數的微分方程為常微分方程。

二階 常系數 齊次 常微分方程：
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0...(3.2)$$
只要滿足式(3.2)的函數就是其解，可以假設$y=e^{rx}$,求解合適的$r$滿足(3.2)式。(為啥設置$y=e^{rx}$的具體原因我忘記了)

將$y=e^{rx}$帶入(3.2)式子，有：
$$(r^2+pr+q)e^{rx}=0...(3.2)$$

因為：$e^{rx}$恒大于0，所以只有：$$r^2+pr+q=0...(3.4)$$

的$r$才能使(3.3)式為0。式子(3.4)為二階 常系數 齊次 常微分方程的特征方程，解特征方程得$r_1,r_2$（假定有兩個不相等的實數解，其他情況，詳見參考資料），那么$y_1=e^{r_{1}x},y_2=e^{r_{2}x}$為方程的兩個解，這兩個解的各種線性組合也是微分方程的解，所以，微分方程的通解為：
$$y=c_1{e}^{r_{1}x}+c_2{e}^{r_{2}x}...(3.5)$$

以上推導過程，總結求解 二階常系數齊次常微分方程 的步驟：
step1:求解特征方程：$r^2+pr+q=0$
step2:依據初始條件求解系數$c_1,c_2$
step3:帶入3.5式，二階常系數齊次常微分方程的通解為：$y=c_1{e}^{r_{1}x}+c_2{e}^{r_{2}x}...(3.5)$

參考資料：
https://baike.baidu.com/item/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B/4763?fr=aladdin
https://blog.csdn.net/low5252/article/details/90758604

4.積分方程特征方程

積分方程是含有 對未知函數的積分運算 的方程，與微分方程相對。如果積分方程中只含有位置。
積分方程中有核函數$k(x,y)$,核函數可以展開成特征值與特征函數加權和
$$k(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }\frac{1}{{\lambda }_i}{\psi }_i(x){\psi }_i(y)$$

具體內容詳見下面資料。（本部分還不會，逃！總有一天我會回來的）

參考材料：https://wenku.baidu.com/view/344127efaf45b307e87197f2