我們知道，指數函數

，對于每一個確定值x，都有一個y值與它相對應。并且當x取不同值時，得到的函數值y也是不同的。也就是說指數函數的自變量與因變量是一一對應的。

對于任意的

,在R中都有唯一的數x滿足

。如果把y看做自變量，那么x就是y的函數。由對數的定義可知，這個函數可以表示為

。

通常習慣將自變量用x表示，所以這個函數可以寫成

。這種形式的函數稱為

，a叫做對數函數的

以10為底數的對數函數為常用對數函數，記作

；以無理數e為底的對數函數稱為

。

指數函數

和對數函數

描述同一對變量x，y之間的關系。在指數函數

中，函數定義域為實數集R，值域為

。在對數函數

中，定義域為

，值域為實數集R。像這樣的兩個函數稱作互為

是指數函數

的反函數，指數函數

是對數函數

的反函數。

下面研究對數函數的性質，從特殊到一般，首先觀察a=2以及a=1/2時對數函數的圖像，如下所示：

可以看到，這兩根曲線只在y軸右側有值，且都經過點(1,0)。不同的是當a=2時，函數是上升的；當a=1/2時，函數是下降的。

對數函數

,當底數a>1或者0<a<1時函數的性質總結如下：

（1）兩者的定義域都為

，值域都為實數集。并且都經過點(1,0)

（2）當a>1時，函數為增函數；當0<a<1時，函數為減函數。

（3）當a>1時，若x>1，則y>0，若0<x<1，則y<0；當0<a<1時，若x>1，則y<0，若0<x<1，則y>0。

最后還應該看到，由于指數函數

和對數函數

互為反函數，其函數圖像關于直線y=x對稱。假設a=2，兩個函數圖像如下圖所示，可以看到這兩個函數的圖像關于y=x對稱。

由于函數

和函數

的圖像關于直線y=x對稱，所以只要記住了指數函數的特性，通過類比就能知道對數函數的特性。