九年義務教育三年制初級中學“數學”課本中，對正切函數和余切函數的定義是這樣下的：在ＲｔＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ａ，ｂ，ｃ分別是∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ所對的邊，那么ｔａｎＡ＝＝或ｔａｎＢ＝＝， ｃｏｔＡ＝＝或ｃｏｔＢ＝＝，即一個角的正切值等于這個角的對邊邊長與鄰邊邊長的比值，余切值等于這個角的鄰邊邊長與對邊邊長的比值。利用這個定義，我們可以解決很多實際生活中的問題。

(１)可以計算物體的高度和水平寬度。例如，如圖站在離樹根較遠的Ａ處用測角器測得樹梢Ｃ處的仰角是３５°，向樹根部走近１０米后到Ｂ處，測得樹梢Ｃ處的仰角為４８°，求樹高ＣＤ。

分析：利用余切函數定義，分別在ＲｔＡＣＤ與ＲｔＢＣＤ中求出ＡＤ＝ＣＤｃｏｔＡ，ＢＤ＝ＣＤｃｏｔ∠ＣＢＤ，再用關系式ＡＢ＋ＢＤ＝ＡＤ，即可求得樹高ＣＤ的長。

解：在ＲｔＡＣＤ中，ｃｏｔＡ＝，ＡＤ＝ＣＤｃｏｔＡ；

在ＲｔＢＣＤ中，ｃｏｔ∠ＣＢＤ＝，ＢＤ＝ＣＤｃｏｔ∠ＣＢＤ，

又ＡＢ＋ＢＤ＝ＡＤ，

１０＋ＣＤｃｏｔ∠ＣＢＤ＝ＣＤｃｏｔＡ，

ＣＤ＝＝

這種方法不僅可以求出物體的高度，還可以求出河(或塘)的寬度。

如圖，欲求河寬ＡＢ，可在岸邊選定點Ｃ，使ＣＢ與ＡＢ垂直于Ｂ，測得ＣＡ與ＣＢ的夾角為?琢，走近Ｂ到點Ｄ，測得ＤＡ與ＤＢ夾角為?茁，由于Ｃ，Ｄ，Ｂ在同一直線上，根據上述方法同樣可以算得ＡＢ＝。

(２)引申題。①一艘航船向正北方向航行，到Ａ處測得海島Ｐ在北偏東３０°的方向，再向正北航行６千米到Ｂ處，又測得該島在北偏東６０°方向，已知海鳥Ｐ的周圍６千米的范圍內有暗礁，如果航船不改變方向繼續航行，有沒有觸礁的危險？

分析：根據題意得右下圖，計算ＰＣ，如果ＰＣ＞６千米，那么航船安然無恙。如果ＰＣ＜６千米，那么航船就有觸礁的危險。

解：在ＲｔＡＰＣ中，ＡＣ＝ｐｃｃｏｔＡ＝ ｃｏｔ３０°＝ｐｃ

在ＲｔＢＰＣ中，ＢＣ＝ｐｃｃｏｔ∠ＰＢＣ＝ｐｃｃｏｔ６０°＝ｐｃ，

且ＡＣ－ＢＣ＝ＡＢ

ｐｃ－ｐｃ＝６，算得ｐｃ＝３ (千米)

由于 ３＜６， 故ｐｃ＜６(千米)，所以航船有觸礁的危險。

②一艘輪船以２０／時的速度由西向東航行，途中接到臺風警報，臺風中心正以４０／時的速度由南向北移動，距臺風中心２０的圓形區域(包括邊界)都屬臺風區。當輪船到Ａ處時，測得臺風中心移動到位于點Ａ正南方向Ｂ處，且ＡＢ＝１００。

若這艘輪船自Ａ處按原速度繼續航行，在途中會不會遇到臺風？

若會，試求輪船遇到臺風的最初時間；若不會，請說明理由。

解：當臺風中心由Ｂ處移到Ａ處時，用了＝＝２．５小時，而輪船由Ａ向東行駛了２０×２．５＝５０。而５０＜２０，故輪船遇到臺風襲擊。

設輪船遇到臺風襲擊的最初時間是在第ｘ小時后，

輪船行駛到了Ｃ處，臺風中心移到了Ｂ′處，那么ＡＣ＝２０ｘ，Ｂ′

ＡＢ′＝１００－４０ｘ，ＣＢ′＝２０，根據勾股定理，得

(２０ｘ)２＋(１００－４０ｘ)２＝(２０)２１＝１，ｘ２＝３．故輪船最初遇到臺風的時間是輪船向東航行１小時后。

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