動態規劃算法——最長上升子序列

今天我們要講的是最長上升子序列（LIS）。
【題目描述】
給定N個數，求這N個數的最長上升子序列的長度。
【樣例輸入】 　　　　 【樣例輸出】
7 ? 　　 ? ? ? ? ? ?　　　　4
2 5 3 4 1 7 6

那么什么是最長上升子序列呢？
就是給你一個序列，請你在其中求出一段不斷嚴格上升的部分，它不一定是要連續的。
就像這樣：2,3,4,7和2,3,4,6就是序列2 5 3 4 1 7 6的兩種選取方案，這個數列的最長長度是4.

那么，怎么求出它的最大上升子序列長度為4呢？這里介紹兩種方法，都是以動態規劃為基礎的。

首先，我們先介紹較慢（O（n2））的方法。我們記num為到這個數為止時的最長上升子序列的長度。

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這種方法就是每一次尋找“可以接下去的”，換句話說，設原序列為a，則
　　當aj<ai(j<i)且numj+1>numi時，numi=numj+1。
對于每一個數，他都是在“可以接下去”的中，從前面的最優值+1轉移而來。
因此，這個算法是可以求出正確答案的。

復雜度很明顯，外層i枚舉每個數，內層j枚舉目前i的最優值，即O（n2）。

那么，有沒有更快的方法呢？當然有。這回要用到二分。
我們回想一下，在上面O（n2）的程序中，哪些地方看起來比較費時？
沒錯，就是內層用于更新i的循環。因為每一次它都要查找一遍，效率并不高。
回到題目，我們發現，他只要我們求長度，所以……？
我們可以模擬一個棧。
每遇到一個比棧頂元素大的數，就放進棧里，遇到比棧頂元素小的就二分查找前邊的元素，找到一個“最應該被換掉的元素”，用新數去更新前邊的元素。
這個算法不難證明也是正確的。因為前面每一次的枚舉都換成了二分，內層的復雜度從n降到了log2，外層不變。所以總的復雜度是O(nlog2n)。

接下來，我先給出樸素算法的代碼。

#include<cstdio>
    const int MAX=1001;
    int a[MAX];
    int lis(int x)
    {
        int num[MAX];
        for(int i=0;i<x;i++)
        {
            num[i]=1;
            for(int j=0;j<i;j++)
            {
                if(a[j]<a[i]&&num[j]+1>num[i])
                       num[i]=num[j]+1;
            }
        }
        int maxx=0;
        for(int i=0;i<x;i++)
            if(maxx<num[i])
                maxx=num[i];
        return maxx;
    }
    int main()
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        return !printf("%d\n",lis(n));
    }

這個則是二分算法的代碼：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
const int MAXN=200001;
    
int a[MAXN];
int d[MAXN];
    
int main()
{
10　　int n;
11　　scanf("%d",&n);
12　　for(int i=1;i<=n;i++)
 　　  scanf("%d",&a[i]);
14　　d[1]=a[1];
15　　int len=1;
　　for(int i=2;i<=n;i++)
17　　{
18　　　　if(a[i]>d[len])
19　　　　　　d[++len]=a[i];
20　　　　else
21　　　　　　{
22　　　　　　　　int j=std::lower_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d;
23　　　　　　　　d[j]=a[i]; 
24　　　　　　}
25　　}
26　　printf("%d\n",len);    
27　　return 0;
}

類似的，我們可以通過二分查找中改變“上確界”和“下確界”，以及符號（“<”和“<=”或“>”、“>=”等），求出最長不下降、不上升、嚴格下降子序列等問題。

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由于作者也正在學習中，這篇文章只是借用別人的文章并加上自己的理解。

原文：http://www.cnblogs.com/frankchenfu/