浮點運算JavaScript

本文主要討論JavaScript的浮點運算，主要包括

• JavaScript number基本類型

• 二進制表示十進制

• 浮點數的精度

number 數字類型

在JavaScript中，數字只有number這一種類型;

var intS = 2,floatA = 0.1;
typeof intS;   // number
typeof floatA; //number

那么這個情況下應該很容易理解一件事情：number應該是實現的浮點型數來標識所有的數；
而實際上也是這樣；JavaScript的number類型按照ECMA的JavaScript標準，它的Number類型就是IEEE 754的雙精度數值，相當于java的double類型。IEEE 754標準《二進制浮點數算法》（www.ieee.org）就是一個對實數進行計算機編碼的標準。

十進制轉換為二進制

同樣，在計算機的世界里，應該是只有二進制數據的，不是0就是1，那么為了表達生活中最為常見的十進制數據，就會有個轉換過程；這個就是十進制轉換為二進制的方法；
參考：http://www.cnblogs.com/xkfz00...

十進制整數轉換為二進制

這個情況比較常見：3 =》 01；5 =》101；十進制整數轉換為二進制整數采用"除2取余，逆序排列"法。具體做法是：用2去除十進制整數，可以得到一個商和余數；再用2去除商，又會得到一個商和余數，如此進行，直到商為零時為止，然后把先得到的余數作為二進制數的低位有效位，后得到的余數作為二進制數的高位有效位，依次排列起來
換算的法則是，使用一個十進制數字來示例： 173 =》 10101101：

十進制小數變為二進制

十進制的小數轉換為二進制，0.5 =》 0.1 ；十進制小數轉換成二進制小數采用"乘2取整，順序排列"法。具體做法是：用2乘十進制小數，可以得到積，將積的整數部分取出，再用2乘余下的小數 部分，又得到一個積，再將積的整數部分取出，如此進行，直到積中的小數部分為零，或者達到所要求的精度為止。然后把取出的整數部分按順序排列起來，先取的整數作為二進制小數的高位有效位，后取的整數作為低位有效位。
示例 0.8125 =》 0.1101

完整的十進制小數轉為二進制

從上面的講述中可以知道，一個十進制的小數：173.8125 轉換為二進制是 10101101.1101；在計算機中一般都會使用科學計算來處理浮點數，也就是 173.8125 == 1.738125 * 10(2)；那么二進制的表示也不例外，通過指數來定位小數點，用固定的精度來表示數據；

在JavaScript使用的IEEE 754的雙精度數值，一個JavaScript的number表示應該是二進制如下格式：

 1[-/+] 11[位指數]        52[數值]                 64位長
+  -  + -------- + ----------------------- +

64位的具體表述在不同系統可能順序會有差異，但是都是包含以下三部分：

1. 符號位： 1bit，0表示正數，1表示負數

2. 指數位：11bit，也就是需要移動的位數，也就是指數的大小；由于會存在負數和證書，所以這里用了一個偏移的方式處理，也就是真正的指數+1023，這樣的話就表示了【-1023 ~ 1024】；而-1023也就是全0，1024就是全1；

3. 尾數：52bit，這里需要注意的是由于小數點前面以為必須為1，所以實際上是52+1=53位；

參考：http://coolcao.com/2016/10/12...
http://www.cnblogs.com/kingwo...
可以看到，由于二進制的精確位數只有52+1位，那么類似 1/3 這樣的無理數，那么肯定是無法表示的，而且二進制還有很多有理數 0.1這樣的也無法在52位精度的范圍內表示精確無誤；都會被截取53位以后的所有數字。

0.1+0.2 !== 0.3 [true]

有了以上的鋪墊，那么我們很容易就可以推到出原因了；推理步驟如下：

十進制0.1 =》 [利用上面說的方法來轉換，乘以2取整數，然后順序獲取取出得數]

 =>二進制為：0.0001100110011[0011…](循環0011,無限循環)   =>指數表示：尾數為1.1001100110011001100…1100（共52位，除了小數點左邊的必須為1的數據），指數為-4（-4+1023 = 1019 二進制移碼為 01111111011）,符號位為0  => 計算機存儲為：0 01111111011 10011001100110011…11001  => 因為尾數最多52位，所以實際存儲的值為0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011001  

而十進制0.2

 => 二進制0.0011001100110011…(循環0011)  =>尾數為1.1001100110011001100…1100（共52位，除了小數點左邊的1），指數為-3（-3+1023=1020二進制移碼為01111111100）,符號位為0  => 存儲為：0 01111111100 10011001100110011…11001  因為尾數最多52位，所以實際存儲的值為0.00110011001100110011001100110011001100110011001100110011  

　那么兩者相加得：
加法運算的時候需要注意以下幾點：

• 對階：需要將指數小的，變得和指數大的一樣，通過位數移位【移位注意有一個隱藏的小數點左邊的固定的1】

• 尾數運算：加法運算

• 結果規格化：規范為 位數的左邊第一位必須為隱藏的1，

• 舍入處理：主要是在截取的時候進行的處理，最后位舍去時為0直接舍去，為1則+1；【有多種舍入處理】

• 溢出判斷：

尾數加法運算開始,注意小數點左邊隱藏的默認1

   [1].1001100110011001100110011001100110011001100110011001+ [1].1001100110011001100110011001100110011001100110011001

//由于0.1是-3階，指數是-4，而0.2的指數位-3，故而取大者-3；這樣0.1需要右移一位，剛好之前小數點左側隱藏的1被移出來了；如下

      .1100110011001100110011001100110011001100110011001100 【1被舍去】
+  [1].1001100110011001100110011001100110011001100110011001
=   100110011001100110011001100110011001100110011001100111

此時階碼變為了 -3，但是由于進位了兩位，但是最高位需要保留，故而階位只是+1，也就是-2了.也就是01111111101，
進行舍入處理，由于最高位一定是1，所以對結果最高位去除，末尾一位去除，由于是1，故而+1處理，得到新的52位位數為：

 新的尾數： 0011001100110011001100110011001100110011001100110100
存儲為： 0  01111111101  0011001100110011001100110011001100110011001100110100
十進制就是：0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125
截取為：   0.30000000000000004  

轉換成10進制之后得到:0.30000000000000004

思考

看到 0.1+0.2 = 0.30000000000000004;我開始慌了，那么0.1+0.3 === 0.4 對嗎？我也不知道，雖然最后運算的時候證明是對的，但是還是可以按照我們的方法進行分析

 十進制0.1  [利用上面說的方法來轉換，乘以2取整數，然后順序獲取取出得數]=>二進制為：0.0001100110011[0011…](循環0011,無限循環)   =>指數表示：尾數為1.1001100110011001100…1100（共52位，除了小數點左邊的必須為1的數據），指數為-4（-4+1023 = 1019 二進制移碼為 01111111011）,符號位為0  => 計算機存儲為：0 01111111011 10011001100110011…11001  => 因為尾數最多52位，所以實際存儲的值為0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011001 而十進制0.3  => 二進制0.010011001100110011001100110011001...(循環1001)  =>尾數為1.00110011001100110011…0011（共52位，除了小數點左邊的1），指數為-2（-2+1023=1021二進制移碼為01111111101）,符號位為0  => 存儲為：0 01111111101 0011001100110011…110011  因為尾數最多52位，所以實際存儲的值為0.01001100110011001100110011001100110011001100110011001100  那么兩者相加得[對階，為大者-2，-4階數的0.1左移兩位]：      .0110011001100110011001100110011001100110011001100110
+ [1].0011001100110011001100110011001100110011001100110011　
=   1.1001100110011001100110011001100110011001100110011001新的尾數： 1001100110011001100110011001100110011001100110011001
存儲為： 0  01111111101  1001100110011001100110011001100110011001100110011001
十進制就是：0.39999999999999996447286321199499070644378662109375
截取為：   0.4 

可以看到，JavaScript的小數保留了17位，

//一個52位小數的最小二進制的表示
0.0000000000000000000000000000000000000000000000000001
0.0000000000000002220446049250313 
//一個53【加頭部默認1位】位小數的最小二進制數
0.00000000000000000000000000000000000000000000000000001
0.00000000000000011102230246251565
Math.pow(2, 53)
9007199254740992 //當大于這個數的時候就會丟失精度
Math.pow(2, -53)
1.1102230246251565e-16  //當小于這個數也會丟失精度

JavaScript采用了17位來默認截取數據，根據四舍五入方法或者是說二進制中的0舎1進位的方式截取。
所以這樣的加法有的時候會出現精度問題，有的又不會。看看具體的情況,在chrome的console里面運行的結果如下：

0.4-0.1
0.300000000000000040.3+0.1
0.40.1+0.2
0.30000000000000004