一、測量 -- 確定性的死神
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? 前文已反復提及在量子世界中測量這一過程會產生很多奇異的、反直覺的現象。在第一篇文章中我舉的例子是：用同樣的配方，同樣的火候，同樣的廚具（所有你能想到的變量均相同）煎雞蛋，結果出鍋的時候有的雞蛋火候正好，有的糊了，還有的沒熟。結果的巨大差異體現了不確定性，而這種不確定性是我們無法消除的，因為我們已經控制住了一切可能變化的參數。所以在量子世界中，面對測量，我們不能提前預知每一個獨立個體測量后的結果。就如同那些雞蛋，在出鍋前，我們無法知道烹飪的火候是否恰當。這可能聽起來有點抽象，那我再舉一例。
? 我們在學習概率的概念時總會用到這個例子，那就是拋硬幣。硬幣落地時可能正面或反面朝上，我們將這一事件定義為隨機事件。因為對每一次不同的拋硬幣過程，正面或反面朝上的結果是我們無法預知的。當然，這在物理中并不嚴謹。對拋硬幣這一過程，如果我們能夠得知具體的受力過程，我們完全可以完美預測硬幣落地的結果。因此這一過程實際上是個確定性事件，并非隨機事件。它所謂的“隨機性”主要體現在這一過程對初始條件非常敏感，可能我們稍稍改變一點動作（我們自己通常都意識不到），就將改變硬幣落地的結果。這種現象在物理中通常被叫作混沌，就如同蝴蝶效應。但值得注意的是這一過程仍然是確定性的，用隨機形容并不恰當。
? 接下來，我們來看看量子世界的拋硬幣是怎樣的。假設我們可以完美控制拋硬幣的動作，使得每次硬幣受力的過程完全相同，那么對于經典世界我們有理由相信硬幣落地的結果是確定的，即總是正面朝上或總是反面朝上。但對于量子世界，硬幣落地的結果卻是有時正面朝上，有時反面朝上。這一結果是絕大多數物理學家所痛恨的，因為他們再以不能從幾個簡單的物理公式出發計算出未來將要發生的事件了。先前人們對于預知并掌控未來的自信，在量子世界測量結果的不確定上坍塌了。有時我也會設想如果我活在那個年代，我的三觀會受到怎樣的洗禮。恐怕這種挫敗感正如同“哀吾生之須臾，羨長江之無窮”所繪的歷史虛無，不管我們在生前擁有多少財富，活得如何精彩，當死神來臨，之前的一切美好均灰飛煙滅。無論我們怎么努力、怎么精細地總結出物質演化的規律，一旦進行測量，那些完美的預測蕩然無存。
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二、 狄拉克符號
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? 物理學家掌控一切的夢雖然碎了，但生活還要繼續，該研究還要研究。我們雖然無法預知每次拋硬幣的結果，但我們至少知道硬幣落地只有兩種結果，正面或者反面朝上，總不可能屹立不倒吧......別笑，這其實挺重要的。也許你還記得上篇文章我說到矩陣是量子世界的數字，但矩陣的維數可以是任意整數。那么對于量子世界的某一物理過程，物理學家把力學量對應矩陣的維數與該物理過程測量后所有可能出現的結果數聯系在了一起。具體來講，矩陣的維數就等于所有可能的結果數。比方說對于描述拋硬幣這一過程的矩陣，由于只有兩種可能結果，其維數就是2。
? 另外，物理學家還用列向量表示硬幣落地后的狀態，即用列向量|+>表示正面向上，用列向量|->表示反面向上。這個符號是狄拉克創造的，所以又稱狄拉克符號。列向量用箭頭向右的矢量表示，即|>，又稱右矢。在|和>中間的+、-用來標記不同的列向量，這里+和-分別表示正面向上和反面向上。在狄拉克的符號體系中，行向量則用箭頭向左的矢量表示，即<|，又稱左矢。同理，<+|和<-|分別表示正面和反面向上的左矢。從矩陣乘法中我們知道行向量乘列向量是一個數字，這一運算過程又稱為內積，在這一符號體系下，內積就是<|>。在上一篇文章中我也講到了內積，其幾何含義是兩個向量的重疊程度，如果兩個單位向量的內積是1,那么這兩個向量完全相同。因此，<+|+>=<-|->=1。如果兩個向量內積是0,那么這兩個向量毫不相關，互相獨立。通俗地講，內積為0的兩個向量對應事物的兩個對立面，就如同硬幣正面朝上和反面朝上，這兩者是完全對立的。所以我們應當有<+|->=<-|+>=0。
? 我們還可以將左右矢的排放順序交換一下，這就對應于列向量乘以行向量，結果對應一矩陣，其維數與向量維數相同。還是看拋硬幣這一問題，我們說過描述它的矩陣維數是2，因此矩陣是2x2的，共四個元素。我們可以將這個矩陣用狄拉克符號表示，即A=a_{++} |+><+| + a_{+-} |+><-| + a_{-+} |-><+| + a_{--} |-><-|. 其中a_{}表示矩陣A的四個元素。這一符號體系使我們可以不用再將矩陣理解為數字排成的陣列，相反它變成了一串左右矢排列而成的表達式。事實上，這一符號體系包含更多信息，不僅包含矩陣元，還包含了矩陣基矢的信息。下面的話可能作為科普不太恰當，但還是有必要提及。狄拉克符號的表示是抽象的，我們在表述行向量和列向量時并沒有選擇一組基底（坐標系），而是直接對抽象的物理對象命名，比如正面向上對應|+>,反面向上對應|->。一旦我們掌握了這些物理對象的關系（內積），我們就可以表示出整個系統，而不必拘泥于選定的具體基底（坐標系）。而事實上，對于不同的基底（坐標系），中間運算過程的矩陣必然不同，但是具有物理意義的量是不會因為選定的坐標系改變而改變的。所以如果我們能有一套符號體系脫離于這些繁雜的因為坐標系選取不同而不同的中間過程，直面最終可觀測的物理量，那這一定是最便捷的。這就是人們為何鐘愛狄拉克符號的原因，它是量子世界的語言。
我們下面來具體看看，如何僅通過內積的關系得到矩陣與向量的乘法。將矩陣A作用在一個列向量b=b_{+} |+> + b_{-} |->上，我們有
Ab=a_{++} b_{+} |+> + a_{+-} b_{-} |+> + a_{-+} b_{+} |-> + a_{--} b_{-} |-> = ( a_{++} b_{+} + a_{+-} b_{-}?) |+> + ( ?a_{-+} b_{+} + a_{--} b_{-} ) |->.
由此，我們看到矩陣乘法的核心就是內積的運算（至少在物理世界如此）。同理，矩陣和行向量的乘積也可以計算。依次，我們可以推導出矩陣元
a_{++}=<+|A|+>,? a_{+-}=<+|A|->, a_{-+}=<-|A|+>, a_{--}=<-|A|->.
這些表達式在線性代數中都有類似的表達，但這套符號的優勢是將向量和矩陣抽象化，僅使用了富有物理意義的左矢和右矢，免于沉浸于矩陣具體的數字表示中而忽略物理本質。當然，我想你多半不會喜歡這種表達，也不一定理解我所述的優勢。當我們真正描述物理問題時，相信你一定就可以理解這套符號體系為何長盛不衰了。
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三、 量子態
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? 上一節講過物理學家用右矢（列向量）|+>和|->表示硬幣落地后的狀態。那么在硬幣落地前它處在什么狀態哪？通常，教科書上喜歡管硬幣落地前的狀態叫作疊加態。數學上，這種狀態可以表示成|b>=b_{+} |+> + b_{-} |->，即疊加態是落地后狀態的線性組合。如果b_{+} 和 b_{-} 都非0，那么中間的狀態|b>的確不等于|+>和|->. 之所以出現這種奇怪的狀態，恰恰是為了解釋本文第一節描述的怪異現象：面對一個確定的硬幣中間態|b>，有時落地是|+>,有時是|->。也許你會認為只有疊加態是量子態，硬幣落地后對應的|+>和|->不是量子態。這是不對的，它們都是量子態。換句話說，只要是形如|b>=b_{+} |+> + b_{-} |->的態就是量子態，我們可以取b_{}=0. 或者功利一點講，只要是用狄拉克符號表示的都是量子態。
? 硬幣在空中飛舞的過程中，不同時刻的狀態也是不同的，這就對應不同時刻的系數b_{}不同。因此，我們可以用時間t參數化|b>，即|b(t)>=b_{+}(t) |+> + b_{-}(t) |->. 如何確定b_{}(t)在這篇文章不會講述，等到我們了解了量子世界的基本構造后，我們再來討論這一問題。但你需要記住的是，硬幣在不同時刻的狀態是不同的，這種不同體現在系數b_{}上。那么，我們現在把關注點放在落地前的瞬間t'，這時硬幣的狀態可以表示為|b(t')>=b_{+}(t') |+> + b_{-}(t') |->. 但是在下一瞬間，硬幣的狀態不是|+>就是|->。這不是個平滑變化的過程，是個跳變，體現在落地瞬間某個b_{}(t')突然變化為0，而且有的時候是b_{+}(t')跳變成0，有時卻是b_{-}(t'). 雖然對于每一次硬幣落地，我們無法預測結果。但是，如果我們統計多次硬幣落地的結果，我們發現正面朝上和反面朝上的概率是趨向于一個確定值的。因此，物理學家在不確定中大膽提出了一個確定性的東西，那就是硬幣落地結果的概率。注意，這種想法是永遠無法驗證的，因為概率的定義是基于無限多次測量的極限，然而我們沒有辦法做無限多次實驗。但是，在足夠多次實驗后，我們發現硬幣落地的分布的確趨向于某個幾率分布。當然，這個分布應當取決于b_{+}(t')和b_{-}(t')。假設落地后的分布為正面朝上概率p_{+}=0.6，反面朝上概率p_{-}=0.4. 那么最簡單的構造就是讓b_{+}(t')=0.6, b_{-}(t')=0.4. 然而這種構造是有缺陷的，問題在于我們觀察到了一些量子態的干涉現象，這使得對于每個b_{}我們需要用至少兩個實數表示，那么最簡單的構造就是用兩個實數構造成復數。但顯然最后的概率是實數，所以聯系概率和復系數b_{}(t')最簡單的方式就是p_{}=|b_{}(t')|2，即硬幣落地的概率是復系數b_{}(t')的模平方。也許你對什么是復數并不熟悉，這也的確不是一個很簡單的話題，因此我準備在下篇文章講解一下復數。
? 說了這么多，估計你會覺得很亂，那我就盡量做個簡短的總結吧。量子態通常被稱作疊加態，疊加的對象是落地后的狀態|+>和|->，疊加的系數屬于復數域，其模平方對應于測量結果出現的概率。
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四、 平行宇宙
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? 也許你會問為什么一旦進行量子測量，量子態就從疊加態變成某個確定的狀態|+>或|->了？這個問題很好，到現在人們也沒有一個廣泛認同的答案。這一話題在現階段屬于不能被證偽的范圍，因此它不屬于科學范疇。然而人總是要問為什么，總是需要意義和答案的，因此各種各樣的解釋應運而生。其中流傳很廣的一種解釋叫多世界詮釋，這是之后在宇宙學中總被大眾提及的平行宇宙的先驅。
? 那么我們看看對于拋硬幣這一事件，多世界詮釋是怎么理解的。在落地瞬間，地面（測量儀器）與硬幣（量子態）相互作用后分裂成兩個不同的分支，在每一個分支中觀測者僅能看到硬幣一個確定性的朝向。即第一分支觀測者只能看到硬幣向上，第二分支觀測者只能看到硬幣向下。并且在每一分支的觀測者無法看到另外分支的世界。這一過程通俗地說就是，在一次硬幣落地的過程中，宇宙就會分為兩個不同的平行宇宙，其中一個只能觀測到硬幣正面朝上，另一個只能觀測到硬幣反面朝上，而由于觀測者只能處在其中某一個平行宇宙中，它也就只能觀測到其中某一結果。
? 當然，你可能也感覺到了，這種詮釋是很難被證偽的，恐怕是更適合哲學的話題。
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 測驗5: 函數和代碼復用...)
