[ZJOI2019]麻將

Luogu5279 , LOJ3042
題意：給出初始13張手牌，求理論可以和牌的最小輪數的期望．定義和牌為：4句話+1對亂將，不能有杠；七對

原始題解-shadowice
寫得很好的題解

首先分析期望：
\(<--\)所有和牌的步數和＝所有不和牌的情況都再摸1張，除以所有的情況數\((4n-13)!\)
設\(f(i)\)為摸i張牌還不和牌的方案數，則答案為　\[\frac{\sum_{i=1}^{4n?13} {f(i)?i!?(4n?13?i)!}} {(4n?13)!}\]
f(i)的求法要
把所有不和牌的狀態\(dfs\)出一顆樹(＂自動機＂？)，狀態用\(map\)存
設\(f[i][j][k]\)表示已經考慮了\(i\)種牌，\(j\)張牌，當前狀態為\(k\)且不和牌的方案數．如果當前下一種牌取\(t\)張，那么\(f[i+1][j+t][ch[k][t]]+=f[i][j][k]*C(4-a[i],t-a[i])\)

具體考慮設狀態：
首先要知道一道判斷是否和牌的題超級麻將，先考慮這題的設狀態和怎么轉移狀態
每一種狀態要存已經構成了幾句話，有沒有將．然后就只和最后兩種牌選了幾張構成順子有關，于是關于牌的選取只要考慮最后兩維
還可以定義3句同樣的吃為3個碰，那么轉移時是把碰單獨考慮

設當前第\(x\)種，\(x-1\)種有\(i\)張牌構成吃，\(x\)種有\(j\)張牌構成吃，\(x+1\)種選\(i+j+k\)張且有\(k\)張牌構成吃時\(f[1/0][j][k]=max(f[1/0][j][k],min(4,f[0/1][i][j]+i+((x-i-j-k)>=3))\)
("構成吃"是指暫時沒有貢獻的多出來的牌數)
即只考慮有貢獻的情況：選\(i+j+k\)張，多出來\(k\)張．
且此時\(i\)張形成順子(都是多出來的)；碰單獨考慮
總結一下就是，
用一個結構體維護：這個狀態下的[最后兩種牌對應的兩維]下(分別拿出\(i,j\)張構成新順子時)的情況：
\(cnt\)句話；\(f\)存無將的情況，\(g\)存有將的情況，

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<map>
#define debug(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
#define Debug(x) cout<<#x<<"="<<x<<endl
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF=1e9+7;
inline LL read(){register LL x=0,f=1;register char c=getchar();while(c<48||c>57){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(c>=48&&c<=57)x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),c=getchar();return f*x;
}const int N=405;
const int S=2105;
const int mod=998244353;int a[N],fac[N],ifac[N];
int ch[S][5],f[N][S],g[N][S];
int n,Pcnt;inline int add(int x,int y){x+=y;return x>=mod?x-mod:x;}
inline int mul(LL x,int y){x*=y;return x>=mod?x%mod:x;}
inline int C(int n,int m){return mul(fac[n],mul(ifac[m],ifac[n-m]));}struct Node{int f[3][3];inline Node(){memset(f,-1,sizeof f);}//賦初值inline int* operator[] (const int x){return f[x];}//方便調用inline bool operator< (const Node &a) const { //便于插到map里面去for(int i=0;i<3;i++){for(int j=0;j<3;j++)if(f[i][j]!=a.f[i][j]) return f[i][j]<a.f[i][j];}return 0;}inline bool operator== (const Node &a) const {for(int i=0;i<3;i++){for(int j=0;j<3;j++)if(f[i][j]!=a.f[i][j]) return 0;}return 1;}inline bool operator!= (const Node &a) const {return !(*this==a);}
};struct mahjong{Node f,g;//帶將&不帶將int cnt;inline mahjong(){f[0][0]=cnt=0;}///inline bool operator< (const mahjong &a) const { //便于插到map里面去if(f!=a.f) return f<a.f;if(g!=a.g) return g<a.g;return cnt<a.cnt;}inline mahjong trans(int x){//加x張新點數的牌進來,形成新的狀態mahjong ans;ans.cnt=min(7,cnt+(x>=2));for(int i=0;i<3;i++)for(int j=0;j<3;j++){if(~f[i][j]){for(int k=0;k<3&&i+j+k<=x;k++){//只考慮有貢獻的情況:選i+j+k張,多出來k張ans.f[j][k]=max(ans.f[j][k],min(4,f[i][j]+i+((x-i-j-k)>=3)));//此時i張形成順子(都是多出來的);碰單獨考慮}if(x>=2){for(int k=0;k<3&&i+j+k<=x-2;k++) //作將ans.g[j][k]=max(ans.g[j][k],min(4,f[i][j]+i));}}if(~g[i][j]){for(int k=0;k<3&&i+j+k<=x;k++)ans.g[j][k]=max(ans.g[j][k],min(4,g[i][j]+i+((x-i-j-k)>=3)));}}return ans; // 維護的是 這個狀態下的[最后兩種牌對應的兩維]下(分別拿出i,j張構成新順子時)的情況:// cnt句話;f存無將的情況,g存有將的情況}
};map <mahjong,int> Id;inline bool check(mahjong s){if(s.cnt>=7) return 1;for(int i=0;i<3;i++){for(int j=0;j<3;j++)if(s.g[i][j]>=4) return 1;}return 0;
}inline int dfs(mahjong s){//把所有不和牌的狀態構成一顆樹(自動機)if(check(s)) return 0;//沒有后繼狀態int &t=Id[s];if(t) return t;t=++Pcnt;for(int i=0;i<=4;i++)ch[t][i]=dfs(s.trans(i));return t;
}int main(){n=read();for(int i=1;i<=13;i++) a[read()]++,read();fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=1;for(int i=2;i<=(n<<2);i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i);for(int i=2;i<=(n<<2);i++) ifac[i]=mul(ifac[mod%i],mod-mod/i);//階乘必須分兩步for(int i=2;i<=(n<<2);i++) ifac[i]=mul(ifac[i],ifac[i-1]);dfs(mahjong());g[0][1]=1;//強行滾動數組for(int i=0,sum=0;i<n;sum+=a[++i]){ //已經考慮了i種牌swap(f,g);for(int j=0;j<=(i<<2);j++)for(int k=1;k<=Pcnt;k++) g[j][k]=0;for(int j=sum;j<=(i<<2);j++) //已經摸了j張牌for(int k=1;k<=Pcnt;k++){ //狀態為kif(!f[j][k]) continue;for(int t=a[i+1];t<=4;t++){if(ch[k][t]) g[j+t][ch[k][t]]=add(g[j+t][ch[k][t]],mul(f[j][k],C(4-a[i+1],t-a[i+1])));}}}int ans=0;for(int i=1;i<=(n<<2)-13;i++){int sum=0;for(int j=1;j<=Pcnt;j++) sum=add(sum,g[i+13][j]);//i張牌還不和的方案數ans=add(ans,mul(sum,mul(fac[i],fac[4*n-13-i])));}printf("%d\n",add(mul(ans,ifac[4*n-13]),1));//所有不和的情況都加1步
}