Reversed-Z詳解

　　在3D渲染管線中，Z這個家伙幾乎無處不在，如Z-Buffer，Early-Z，Z-Cull，Z-Test，Z-Write等等，稍有接觸圖形學的人都會對這些術語有所耳聞。

　　那么Z到底是什么呢？首先Z當然可以是任意坐標系下的z坐標值，但我們這里要說的Z值，就是深度值，上面幾個包含Z的術語里面的Z也都是深度值的意思，深度值是物體變換到屏幕空間后的z坐標的值，因為NDC空間轉屏幕空間時并不會改變z值，所以也可以說是NDC空間中z坐標的值，有些讀者可能認為在屏幕空間中Z值已經不存在了，這也是有道理的，因為屏幕是一個2d空間，沒有z軸，但我們在這里不做2d，3d區別，認為都有z軸。在DirectX中，Z值得取值范圍是[0,1]，在OpenGL中，其取值范圍為[-1,1]，這篇擬在DirectX環境下討論Z。

　　Z值的推導請參見：

http://www.codeguru.com/cpp/misc/misc/graphics/article.php/c10123/Deriving-Projection-Matrices.htm

　　這里我們直接用上文中的一個結果（建議沒推導過的讀者按照這一篇的思路推導一遍，必定會受益匪淺）， 即Z值在透視投影后的結果：

$$ZZ_{c}={\frac{f}{f-n}Z_{c}}-{\frac{fn}{f-n}}$$

　　上面的方程中，$Z$即我們要求的深度值，$Z_{c}$是物體在Eye Space中的z坐標，f是視錐體遠裁剪平面在Eye Space中的z坐標，n是視錐體近裁剪平面在Eye Space中的z坐標。由上式可求得($ZZ_{c}$其實是Clip Space中的z值，除以$Z_{c}$就是透視除法，得到NDC空間的z值，也即是深度值Z)：

?$$Z={\frac{f}{f-n}}-{\frac{fn}{(f-n)*Z_{c}}}\quad?①$$

　　對于$Z_{c}$，我們可以證明其關于物體在World Space中的z值$Z_{w}$為線性關系，那么根據上式可知$Z$與$Z_{c}$、$Z_{w}$皆不為線性關系。簡單起見，我們取f=1000，n=0.01，有：

?$$Z≈-{\frac{0.01}{Z_{c}}}+1\quad②$$

其函數圖像如下（$Z_{c}>0$）:

圖1

?

　　圖中A點表明了$Z_{c}$∈[0.01,0.1]的物體占用了十分之九（0~0.9）的深度值，這說明在z軸方向上與相機距離為0.1到1000的物體只用到了十分之一（0.9~1.0）的深度值。這個結果是令人印象深刻的，因為Z值的分布太不均勻了，就好像世界上的絕大部分錢都被一個人占有了一樣。那Z值的分布情況對于3d渲染來說重要嗎？它意味著什么呢？

　　深度值的不均分分配會導致非常嚴重的后果，那就是Z-Fighting。深度值的取值范圍是[0,1]，但這并不代表它存到Z-Buffer里面后也一定是[0,1]的浮點數，事實上在過去很長一段時間乃至現在很多時候，深度值被保存在16位或者24位的無符號整數中。這里我們用范圍更小的16位來存儲深度值，因為這能更好的凸顯出問題。當深度值存儲為16位無符號整型格式時，其取值范圍是[0,65535]，現在我們來算一算當深度值為65534時，$Z_{c}$是多少?65534映射到[0,1]中，值為65534/65535。連同f=1000，n=0.01代入①式（①比②可獲得更精確的結果）可解得：$Z_{c}$≈395.9005401718437≈395.9，這說明在Eye Space中在z軸方向上距離相機395.9到1000的物體的深度值都是65535！當兩個物體擁有同樣的深度值時，就會產生非常丑陋的Z-Fighting(詳見：https://en.wikipedia.org/wiki/Z-fighting）:

(相同的深度值導致GPU不能正確分辨哪個在前，哪個在后)。

????在3d渲染中，應該盡可能的避免產生Z-Fighting，即應該盡可能的改善深度值分布的均勻程度。提高用來保存深度值類型的精度可以起到改善z值沖突的情況，比如用24位甚至32位的數據類型來存儲深度會比16位好很多，但由于硬件條件的限制和Z值的非線性增長，目前來說不可能用太多位的硬件出現。有的人也許會想到用浮點數來保存深度值，但其實這毫無作用的，甚至可以說更為浪費，因為對于32位浮點數，其尾數（Mantissa）只有23位二進制數，規格化浮點數加上一位保留位也只有24位，這與24位無符號整數表示的精度是一樣的，而浮點數還多使用了8位來存儲其他信息。另外，雖然浮點數本身表示的范圍更廣，但我們知道深度值的范圍不過為[0,1]，當我們用浮點數來存儲深度值時，當然不會再去做映射，這樣，深度值其實只占到了范圍在[0,1]的浮點數所占的精度，這勢必就更少了，不過好在浮點數的精度分布也主要分布在0值附近，0值附近的符點數擁有更好的精度，但不管怎樣，目前來說想依靠浮點數來改善狀況是不可取的。

　　除了提高Z-Buffer的精度以外，還有一些方法也可以改善Z值沖突的情況，如增大近裁面與相機位置z值距離（即n值）就是一種方法。對①式 我們取n=0.1，f=1000（不變），有：

$$Z≈-\frac{0.1}{Z_{c}}+1$$

其圖像如下：

圖2

　　對比圖1，圖2的情況好了很多，對比兩個圖中的點A，前0.9的深度值表示的范圍從0.1擴大到了1，說明有更多的深度值用來表示$Z_{c}$比較大的情況，如果還以16位無符號整數來存儲深度值，計算后可得$Z_{c}$在區間[868,1000]時共享65535這個深度值，這比[396,1000]的沖突少了非常多，降低了出現Z-Fighting的概率。而我們僅僅是將n從0.01提高到0.1而已，這對一般的應用場景幾乎不會產生影響。

　　既然如此，我們將n值繼續增大，比如取n=100，會怎樣呢?我們將n=100，f=1000（不變）代入1式得：

?$$Z=-\frac{1000}{9Z_{c}}+\frac{10}{9}$$

圖像如下（我必須把x軸壓縮400倍才能截個圖）：

圖3

　　可以看到0到0.9的深度值已經可以表示到大約=600的時候了，要知道n=0.01的時候， 0.9的深度值$Z_{c}$只能表示到0.1；n=0.1的時候$Z_{c}$只能表示到1。依然將深度值存入到無符號整型中，我們可以計算出當物體的$Z_{c}$∈[999.863,1000]時，它們才共用65535這個深度值，通過取n=100我們很好地改善了Z值的分布情況。至少看起來已經是個很好——甚至可以說近乎完美的辦法了。但是，事實并非如此，由于取得n=100，我們舍棄了整個$Z_{c}$∈[0,100]的物體，我們將永遠看不到那些離相機z軸距離少于100的物體！增大近裁剪面的值以換取深度值的分布均勻程度，難言利弊得失。

????難道就沒有更好的改善深度值分布的辦法了嗎？當然有了，辦法就是神奇的Reversed-Z，Reversed-Z的做法其實是很簡單的，即將原本近裁剪平面映射到深度值0，遠裁剪平面映射到深度值1的映射關系反過來，讓近裁剪平面映射到深度值1，遠裁剪平面映射到深度值0。即將[n,f]映射到[1,0]，按照上文給出的投影矩陣推導鏈接中的方法，我們可以推導出Reversed-Z的情況下Z與$Z_{c}$的關系（其實就是①式中n與f互換）：

??$$Z={\frac{n}{n-f}}-{\frac{fn}{(n-f)*Z_{c}}}$$

　　我們取n=0.1，f=1000，有：

$$Z≈\frac{0.1}{Z_{c}}$$

函數圖像如下：

圖4

????看到上面的圖，細心的讀者可能會發現，這不跟圖2一樣嘛，都是$Z_{c}$=1的時候，深度值Z就用了十分之九（0.9）了，不過是前者是[0, 0.9]，這里是[0.1, 1]而已，有區別嗎？如果我們還是以無符號整型來存儲深度值，的確對我們達成目的沒有幫助，依然是靠近近裁剪平面的少數物體占據了大多數深度值。但是我說過Reversed-Z是神奇的，它的神奇之處是當它搭配上我前面否定過的浮點數時，Reversed-Z在"提高深度值均分分布程度" 這件事上就變得非常有效了。

????讓我們回到浮點數，前面有提到過 "0值附近的符點數擁有更好的精度"，這是有依據的，浮點數具體介紹請參考維基百科：https://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_floating_point，這里以單精度符點類型做簡單說明。規約化單精度浮點數的有效位數只有7位（實際是7點多位，這里簡單起見取7），當一個浮點數小于1的時候，它可以確保有6位小數位是精確的，也就是說，在(0,1)這個開區間內至少可以包含999999（6位）個誤差允許的單精度浮點數，1~9同理，但由于非規約化浮點數（主要是在0值左右）的存在，使得(0,1)這個區間內的浮點數個數要比(1,2),(2,3)…(9,10)這些區間內的符點數要多。在(10, 11)這個區間內，由于整數位占去了兩位，所以這個區間內至少只可以包含99999（5位）個有效單精度浮點數，以此類推，(100,101)開區間內包含9999個有效單精度浮點數，(1000,1001)開區間內包含999個有效單精度浮點數等等，當數量級來到[1000000,1000001]時(注意這里是閉區間)，這個區間內能保證有效的單精度浮點數不過就兩個：1000000與1000001本身。這說明浮點數的分布與深度值的分布一樣是不均與的，越靠近0的浮點數分布越密集，越遠離0的浮點數分布越稀疏：

浮點數分布情況圖

　　當我們用正常的Z值系統（[n,f]映射到[0,1]）與浮點數配合時，符點數沒有任何幫助(原諒這個不一樣的畫風，由于我還不太會使用GeogeBra作圖，我把本文的主要參考文章Depth Precision Visualized的圖拿過來用了)：

圖5

　　圖5中z1到z2這么遠的距離依然只共享一個深度值0.99。

????

但當我們將Reversed-Z（[n,f]映射到[1,0]）與浮點數結合起來，情況就變成了：

圖6

隨著$Z_{c}$的增大，深度值Z的降幅越來越小，看似又要陷入精度不夠的死胡同，但浮點數的分布規律恰好彌補了這一不足，使得較大的也有足夠的精度表示，圖6中z1到z2比之圖5中多獲得了5個深度值。這樣，距離相機近和遠的物體分得的深度值就比較平均了，變相的實現了"改善深度值分布狀況"這一目的，從而也達到了降低Z-Fighting出現的概率（是的，雖然Reversed-Z這么神奇，但Z-Fighting還是不能完全避免的，雖然概率已經降到很低）。

作為依賴Unity引擎的開發者，很高興看到Unity在其5.5以及以后的版本中引入了Reversed-Z的做法，在這里也提醒一下大家以后為Unity寫shader的時候，如果用到深度值Z，一定要記得 [n,f] 是映射到[1,0]，否則就會寫出錯誤的效果J。

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參考與說明：

本文參考：Depth Precision Visualized，對Reversed-Z進行思考與分析，希望能對讀者有所幫助。

文中的函數圖像使用GeoGeBra軟件繪制，公式用LaTex 語法寫成。