面對需求的不確定性，報童模型是做庫存優化的常見模型。而標準報童模型假設價格是固定的，此時求解一個線性規劃問題，可以得到最優訂貨量，這種模型存在局限性。因為現實世界中價格與需求存在一定的關系，本文假設需求q是價格p的線性函數，基于歷史需求數據學習回歸直線的參數并計算擬合殘差，帶入到報童模型中，此時的報童模型變成一個二次規劃問題，其目標函數是關于價格p是二次的。

方法

為提高報童模型的準確性，使用SAA算法解決隨機優化問題，并與其他方法做對比。

對標準報童模型做的三個擴展

擴展1：允許rush order

當售賣當天需求量過高時，允許報童緊急訂報，只是價格g比一般訂購價格c稍高，即g>c；
如果定貨太多，那么每份報紙會產生持貨成本t，特別地，如果允許以一定價格回退給廠商，那么t<0 。但在這個文章中，僅考慮t>0的情況。
符號說明：
單份報紙的售價為p;
訂貨量是q;
目標函數是

擴展2：需求與價格呈線性相關

假設需求與價格的線性回歸模型如下
$$D={\beta }_0+{\beta }_{1}p+{?}_i$$
根據給定的數據集（含價格和需求量，即$\{(p_i,D_i)|i=1,2,...,n\}$），找出最佳擬合線性回歸函數的參數。假設干擾項${?}_i$具有隨機性,根據歷史數據$\{(p_i,D_i)|i=1,2,...,n\}$學習到參數${\beta }_0,{\beta }_1$，計算殘差值 { ? i ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{\epsilon_i|i=1,2,...,n\} {?i?∣i=1,2,...,n}。

• 對于價格固定的標準報童模型，求最優訂貨量
  如果新價格p出現，將計算好的殘差值 { ? i ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{\epsilon_i|i=1,2,...,n\} {?i?∣i=1,2,...,n}和新價格p帶入模型$$D={\beta }_0+{\beta }_{1}p+{?}_i$$，可以得到新價格p所對應的需求量估計值 { D i ^ ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{\hat{D_i}|i=1,2,...,n\} {Di?^?∣i=1,2,...,n}，這些估計值會帶入到標準報童模型中，求解該線性規劃問題，從而得到最優訂貨量。
  關于計算需求量估計值的進一步解釋，比如：估計參數${\beta }_0=1000,{\beta }_1=?2$，現有兩個樣本的擬合殘差是15和-9，對于新價格2來說，需求量估計值有
  $1000?2?2+15=1011$,
  $1000?2?2?9=987$
• 對于價格不固定的擴展報童模型，求最優訂貨量和最優價格
  此時，目標函數
  
  中$p?D_i$就會變成$p?({\beta }_0+{\beta }_{1}p+{?}_i)$，這是價格p的二次函數。
  注意：上面目標函數中的$D_i$指的是新價格p所對應的第i個需求估計值，而不是原數據集中第i個樣本的需求值。
  我覺得沒有疑問了，這本身就是一個關于價格p的二次優化問題。

注：
為了求解這個問題，引入啞變量$h_i$，表示第i天成本的負值。如此一來，目標函數——利潤函數可以表示為收益+成本負值的平均，其中收益指$p?D_i$，成本負值指$h_i$。

擴展3：分析數據集對最優訂貨量和最優價格的影響（最優訂購量、最優價格的敏感性分析）

對原數據集做重采樣，計算最優訂貨量、最優價格、對應的期望利潤值。

任務

1. 根據給定數據集，估計出需求與價格之間的線性回歸方程；
2. 給定參數c=0.5,g=0.75,t=0.15,利用殘差數據 { ? i ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{\epsilon_i|i=1,2,...,n\} {?i?∣i=1,2,...,n}，求價格p=1時的需求量估計值 { D i ^ ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{\hat{D_i}|i=1,2,...,n\} {Di?^?∣i=1,2,...,n}；
3. 求價格p=1時的最優訂貨量（這是一個線性規劃問題）；
4. 假設價格不是固定的，將需求量與價格的線性回歸方程帶入到報童模型中，解QP(二次規劃問題，目標函數含價格的平方項)，得最優訂貨量、最優價格；
5. 分析最優價格、最優訂貨量是否對數據集敏感。對原數據集做重采樣，重新估計需求與價格之間的線性回歸函數參數 ，求最優價格和最優訂貨量；
6. 重復上述重采樣、擬合操作，得到多組最優訂貨量和最優價格；為得到的最優訂貨量、最優價格、期望利潤繪制直方圖，觀察統計規律。

建模

價格固定時

下面是思路，我用黃色熒光筆標了步驟，即
如果新價格p出現，將計算好的殘差值 { ? i ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{\epsilon_i|i=1,2,...,n\} {?i?∣i=1,2,...,n}和新價格p帶入模型$$D={\beta }_0+{\beta }_{1}p+{?}_i$$，可以得到新價格p所對應的需求量估計值 { D i ^ ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{\hat{D_i}|i=1,2,...,n\} {Di?^?∣i=1,2,...,n}，這些估計值會帶入到標準報童模型中，求解該線性規劃問題，從而得到最優訂貨量。


上述模型的含義：目標函數是最大化利潤，引入啞變量$h_i$表示第’i天的成本負值。
上面畫黃線的約束表示：不管需求量大于還是小于訂貨量，利潤都大于$h_i$。換言之，限制利潤（不管需求量大于還是小于訂貨量）大于等于一個變量，這個變量大于等于負無窮。
??為什么成本負值數組h的約束不是$0>h>?\inf$ 做實驗的時候，加上試試。會影響結果
將上述約束化簡成Gurobi建模所需要的形式（如下圖的藍筆）
注：“Gurobi建模所需要的形式”是指“明確哪些是決策變量，哪些是決策變量的系數，哪些是右端項”，這里的決策變量有 $q,h_1,...h_N$。
化簡步驟見圖中黑筆

價格不固定時

我用藍筆標注了步驟：
首先，獲取需求-價格數據集，估計線性回歸參數并計算殘差數據；
接著，把$$D={\beta }_0+{\beta }_{1}p+{?}_i$$帶入到標準報童模型中，會得到一個二次規劃問題。

將之前的擬合結果——殘差數據、擬合函數參數等，帶入到上述模型中，得到需求量估計值$D_i$，得到如下模型：

記錄一個我沒看懂的地方。我覺得作者的轉換并沒有把二次約束轉成線性約束啊，難道是我對“二次規劃”的定義理解出錯了？我以為的二次規劃是，目標函數是二次的，約束是一次的 數學優化問題。

關于上圖的問題，我在紙上列了一下，作者的Gurobi模型應該是把上面兩個約束的二次項$p^2$拿掉了（用報告里面的話說：拿到目標函數中了）。
??為什么可以直接拿掉呢
關于上面的約束如何化簡成jupyter文件中Gurobi模型，我在草稿紙上簡單列了一下，藍色熒光筆標注的是Gurobi建模時所用的約束。
約束1：

約束2：

上圖還有一個問題是，目標函數中決策變量$h_i$的系數應該是1。這一點可以從兩個地方看出來：第一，老師給的作業說明（見上面“擴展2”中，$h_i$的含義說明——成本負值）；第二，作者的Gurobi建模obj數組中目標函數系數的指定。

最優解的穩定性分析

目標：探究使用不同的數據集是否會影響到最優解——最優價格和最優訂貨量
做法：對原數據集做1000次重采樣，每次采樣隨機抽取99組樣本形成新數據集。然后，針對新數據集，計算并收集最優訂貨量和最優價格，以及對應的最優利潤expect_profit。繪制最優訂貨量、最優價格、最優價格的分布直方圖，發現大致服從正態分布，且最優價格與之前LP中的預定價格1相差不大，expect_profit的均值也與之前LP的expect_profit相差不大。

注：新數據集與原數據集樣本順序是不同的。（我覺得這里有些不妥……應該設計新數據集是原數據集的子集，然后觀察最優解的統計規律）

我給這個報告添加了一個conclusion，如下圖