【題解】洛谷P1066 [NOIP2006TG] 2^k進制數(復雜高精+組合推導)

洛谷P1066：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1066

思路

挺難的一道題 也很復雜

滿足題目要求的種數是兩類組合數之和

r的最多位數m為

1. w/k（當w mod k=0 時）
2. w/k+1（當 w mod k=1 時）

First:

位數為2~m的種數

即從2^k-1中不重復地取i個的組合數(只取到2^k-1是因為2^k會進位)

即C(2^k-1,2)+C(2^k-1,3)+...+C(2^k-1,m)

Second:

位數為m+1的種數

因為要每個數嚴格小于左邊

所以枚舉第一位的值i?再取其他的組合數C(2^k-1-i,m)

代碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring> 
using namespace std;
int total[310];//存高精ans 
int k,w,n,m,c;
int gcd(int a,int b)
{if(a%b==0) return b;else return gcd(b,a%b);
}
void C(int n,int m)
{if(n<m) return;int a[310],b[310],x,g;for(int i=m;i>=1;i--){a[i]=n+i-m;//分子的因子n!/(n-m)! b[i]=i;//分母的因子m!
    }for(int i=1;i<=m;i++)//約分 去掉分母b[i] 
    {if(b[i]==1) continue;for(int j=m;j>=1;j--)//高精除法 
        {x=gcd(b[i],a[j]);b[i]/=x;a[j]/=x;if(b[i]==1) break;}}memset(b,0,sizeof(b));b[1]=1,b[0]=1;for(int j=1;j<=m;j++)//約分后的分子相乘 
    {g=0;if(a[j]==1) continue;for(int i=1;i<=b[0];i++){b[i]=b[i]*a[j]+g;//高精乘法 g=b[i]/10;b[i]%=10;if(i==b[0]&&g!=0) b[0]++;//如果還要進位 說明長度要加1 
        }}total[0]=max(total[0],b[0]);for(int i=1;i<=total[0];i++)//高精加法 
    {total[i]+=b[i];total[i+1]+=total[i]/10;total[i]%=10;}if(total[total[0]+1]!=0) total[0]++;//如果還要進位 說明長度要加1
}
int main()
{cin>>k>>w;n=(1<<k)-1;//2^k-1c=w%k;m=w/k;//最高位數 for(int i=m;i>=2;i--) C(n,i);//計算位數為2~len-1的組合數 c=(1<<c)-1;//最高位可取最大值if(c>=1&&n>m)//計算位數為len的組合數 for(int i=1;i<=c;i++) C(n-i,m);//第一位取了i 后面只能取n-i 且要取m個 for(int j=total[0];j>=1;j--) cout<<total[j];//逆序輸出ans 
}

?