Comet OJ - Contest #0題解

傳送門

菜爆了……總共只有一道題會做的……而且也沒有短裙好難過

為啥必須得有手機才能注冊賬號啊喂……歧視么……

\(A\) 解方程

推一下柿子大概就是

\[x-\sqrt{n}=y+z+2\sqrt{yz}\]

如果\(\sqrt{n}\)是無理數，那么就是

\[x=y+z,{n\over 4}=yz\]

那么要滿足\(n\)必須是\(4\)的倍數，然后爆搜\({n\over 4}\)的因子，統計答案就行了

如果\(n\)不是無理數，那么

\[x=\sqrt{n}+(y-z)^2\]

這東西一看就是無限解吧……

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){R int res,f=1;R char ch;while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');return res*f;
}
const int N=1e5+5;
int p[N],vis[N],m;
void init(int n=1e5){fp(i,2,n){if(!vis[i])p[++m]=i;for(R int j=1;j<=m&&1ll*i*p[j]<=n;++j){vis[i*p[j]]=1;if(i%p[j]==0)break;}}
}
const int P=1e9+7;
int st[N],c[N],top,res,sum,n,sqr;
void dfs(int x,int s){if(x==top+1){if(n/4/s>s)return;res=(res+1)%P,sum=(sum+s+n/4/s)%P;return;}for(R int i=0,t=1;i<=c[x];++i,t*=st[x])dfs(x+1,s*t);
}
void solve(int x){top=0;for(R int i=1;1ll*p[i]*p[i]<=x;++i)if(x%p[i]==0){st[++top]=p[i],c[top]=0;while(x%p[i]==0)x/=p[i],++c[top];}if(x>1)st[++top]=x,c[top]=1;res=sum=0;dfs(1,1);
}
int main(){
//  freopen("testdata.in","r",stdin);init();int T=read();while(T--){n=read(),sqr=sqrt(n);if(n==0||sqr*sqr==n){puts("infty");continue;}if(n%4){puts("0 0");continue;}solve(n/4);printf("%d %d\n",res,1ll*sum*n/4%P);}return 0;
}

\(B\) 旅途

這么傻逼的一個\(dp\)我居然沒想出來……

如果沒有遍歷完所有\(n\)個城市，那么遍歷到的城市顯然是一條鏈。我們可以設\(f_{i,j,k}\)表示在第\(i\)天，左邊有\(j\)個已經訪問過的城市，右邊有\(k\)個已經訪問過的城市的概率。轉移顯然

如果遍歷完了所有的\(n\)個城市咋辦？發現其實不看成環也沒問題，直接把訪問城市個數對\(n\)取\(\min\)就可以了

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){R int res,f=1;R char ch;while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');return res*f;
}
const int N=505,P=1e9+7;
inline void Add(R int &x,R int y){(x+=y)>=P?x-=P:0;}
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R int y){R int res=1;for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))(y&1)?res=mul(res,x):0;return res;
}
int f[N][N][N],g[N],T,n,m,k,p,q,res;
int main(){
//  freopen("testdata.in","r",stdin);T=read();while(T--){n=read(),m=read(),k=read(),p=read(),q=read(),res=0;fp(i,1,m)fp(j,0,i-1)fp(k,0,i-1)f[i][j][k]=0;fp(i,1,n)g[i]=0;f[1][0][0]=1;fp(i,1,m-1)fp(j,0,i-1)fp(k,0,i-1)Add(f[i+1][max(j-1,0)][k+1],mul(f[i][j][k],p)),Add(f[i+1][j+1][max(k-1,0)],mul(f[i][j][k],q)),Add(f[i+1][j][k],mul(f[i][j][k],100-p-q));fp(i,0,m-1)fp(j,0,m-1)Add(g[min(i+j+1,n)],f[m][i][j]);fp(i,1,n)Add(res,mul(g[i],ksm(i,k)));printf("%d\n",res);}return 0;
}

\(C\) 項鏈與計數

如果一個點對滿足條件，說明它們之間存在至少兩條邊不重復的路徑，也就是說明它們在同一個邊雙里

動態維護邊雙，看這里

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define ll long long
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){R int res,f=1;R char ch;while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');return res*f;
}
const int N=1e6+5,M=2e6+5;
struct eg{int v,nx;}e[N<<1];int head[N],tot;
inline void add(R int u,R int v){e[++tot]={v,head[u]},head[u]=tot;}
struct EG{int u,v,is;}st[M];
int fa[N],ga[N],sz[N],dep[N],q[N];
int n,m;ll res,sum;
int find(int x){return ga[x]==x?x:ga[x]=find(ga[x]);}
inline ll calc(R int x){return 1ll*x*(x-1)>>1;}
void bfs(int u){int h=1,t=0;q[++t]=u,dep[u]=1;while(h<=t){u=q[h++];go(u)if(v!=fa[u])q[++t]=v,dep[v]=dep[u]+1,fa[v]=u;}
}
void merge(int u,int v){u=find(u),v=find(v);while(u!=v){if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);res-=calc(sz[find(fa[u])]),res-=calc(sz[u]),sz[ga[fa[u]]]+=sz[u],res+=calc(sz[ga[fa[u]]]);u=ga[u]=ga[fa[u]];}
}
int main(){
//  freopen("testdata.in","r",stdin);int T=read();while(T--){n=read(),m=read(),tot=0,sum=res=0;fp(i,1,n)ga[i]=i,sz[i]=1,head[i]=0,dep[i]=0;for(R int i=1,u,v,x,y;i<=m;++i){x=read(),y=read(),u=find(x),v=find(y),st[i].u=x,st[i].v=y;if(u!=v){add(x,y),add(y,x),st[i].is=1;sz[u]>sz[v]?ga[v]=u:sz[u]<sz[v]?ga[u]=v:(ga[v]=u,++sz[u]);}else st[i].is=0;}fp(i,1,n)if(!dep[i])bfs(i);fp(i,1,n)ga[i]=i,sz[i]=1;fp(i,1,m){if(!st[i].is)merge(st[i].u,st[i].v);sum^=1ll*i*res;
//          printf("%d %lld\n",i,res);}printf("%lld\n",sum);}return 0;
}

\(D\)

我們設\(f_{i,j,k}\)表示已經完成了\(i\)這個集合的任務，\(A\)結束的時間為\(j\)，\(B\)結束的時間為\(k\)，\(C\)能結束的最早時間是多少。轉移的話大概比較顯然

雖然看著這東西的復雜度似乎是\(O(T\times 2^6\times 180^2\times 6\times 7)\)……有點炸的樣子……不過因為合法的狀態不是很多，所以我們只轉移合法的就可以過了

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){R int res,f=1;R char ch;while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');return res*f;
}
const int N=(1<<6)+5;
int sz[N],a[9][9],f[N][205][205],lim;
int main(){
//  freopen("testdata.in","r",stdin);int T=read();lim=(1<<6);fp(i,1,lim-1)sz[i]=sz[i>>1]+(i&1);while(T--){fp(i,0,5)fp(j,0,6)a[i][j]=read();memset(f,0x3f,sizeof(f));f[0][0][0]=0;fp(i,0,lim-1)fp(j,0,180)fp(k,0,180)if(f[i][j][k]<=180)fp(x,0,5)if(i>>x&1^1){int s=i|(1<<x);cmin(f[s][min(j+a[x][0],181)][k],f[i][j][k]),cmin(f[s][j][min(k+a[x][1],181)],f[i][j][k]),cmin(f[s][j][k],f[i][j][k]+a[x][2]);int t=min(max(f[i][j][k],max(j,k))+a[x][6],181);cmin(f[s][t][t],t);t=min(max(j,k)+a[x][3],181),cmin(f[s][t][t],f[i][j][k]);t=min(max(j,f[i][j][k])+a[x][4],181),cmin(f[s][t][k],t);t=min(max(k,f[i][j][k])+a[x][5],181),cmin(f[s][j][t],t);}int res=0,cnt=0;fp(i,1,lim-1)fp(j,0,180)fp(k,0,180)if(f[i][j][k]<=180&&(sz[i]>res||sz[i]==res&&max(max(j,k),f[i][j][k])<cnt))res=sz[i],cnt=max(max(j,k),f[i][j][k]);printf("%d %d\n",res,cnt);}return 0;
}

\(E\)

orz Gloid

為了最大化\(LIS\)，修改之后\(LIS\)要么不變要么\(+1\)，一下設原數列的\(LIS\)長度為\(m\)

那么我們先把求\(LIS\)時需要的單調棧給預處理出來，然后分情況討論

1.\(i\)修改之后\(LIS\)長度\(+1\)，那么我們需要它前面有一個\(a_j\)滿足以\(j\)結尾的\(LIS\)長度為\(d\)，后面有一個\(a_k\)滿足以\(k\)開頭的\(LIS\)長度為\(m-d\)，且有\(a_k>a_j+1\)，那么為了滿足修改后的元素最小，我們顯然是取把它改成\(a_j+1\)最優

2.如果\(i\)沒辦法在一個長度為\(m+1\)的數列里，那么改完之后\(LIS\)的長度還是為\(m-1\)。這個也要分情況討論。我們先假設如果有一個\(LIS\)不包含\(i\)，那么顯然它可以取\(0\)

3.如果所有的\(LIS\)都包含\(i\)，那么它只能取滿足存在\(a_j\)長度為\(d\)和\(a_k\)長度為\(m-d-1\)的\(a_j+1\)或者\(a_j\)長度為\(d-1\)且\(a_k\)長度為\(m-d\)的\(a_j+1\)了

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define inf 0x3f3f3f3f
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){R int res,f=1;R char ch;while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');return res*f;
}
char sr[1<<21],z[20];int K=-1,Z=0;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,K+1,stdout),K=-1;}
void print(R int x){if(K>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++K]='-',x=-x;while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);while(sr[++K]=z[Z],--Z);sr[++K]='\n';
}
const int N=1e5+5;
int p[N],q[N],len[N],las[N],now[N],a[N],cnt,T,n,ans,mx;
multiset<int>b,c;
int main(){
//  freopen("testdata.in","r",stdin);T=read();while(T--){n=read();fp(i,1,n)a[i]=read();q[0]=inf;fp(i,1,n)q[i]=-1;ans=0;fd(i,n,1){int l=0,r=ans;while(l<=r){int mid=(l+r)>>1;q[mid]>a[i]?(len[i]=mid+1,l=mid+1):r=mid-1;}las[i]=q[len[i]],q[len[i]]=a[i],cmax(ans,len[i]);}cnt=0,b.clear(),c.clear();p[0]=-1;fp(i,1,n)p[i]=inf;if(q[ans]>p[0])++cnt;if(q[ans]>p[0]+1)b.insert(p[0]);if(q[ans-1]>p[0]+1)c.insert(p[0]);mx=0;fp(i,1,n){if(q[len[i]]>p[ans-len[i]]+1)b.erase(b.find(p[ans-len[i]]));if(ans>=len[i]+1&&q[len[i]]>p[ans-len[i]-1]+1)c.erase(c.find(p[ans-len[i]-1]));if(q[len[i]]>p[ans-len[i]])--cnt;q[len[i]]=las[i];if(q[len[i]]>p[ans-len[i]]+1)b.insert(p[ans-len[i]]);if(ans>=len[i]+1&&q[len[i]]>p[ans-len[i]-1]+1)c.insert(p[ans-len[i]-1]);if(q[len[i]]>p[ans-len[i]])++cnt;if(!b.empty())print(ans+1),sr[K]=' ',print((*b.begin())+1);else if(cnt)print(ans),sr[K]=' ',sr[++K]='0',sr[++K]='\n';else print(ans),sr[K]=' ',print((*c.begin())+1);int l=0,r=mx;while(l<=r){int mid=(l+r)>>1;p[mid]<a[i]?(now[i]=mid+1,l=mid+1):r=mid-1;}cmax(mx,now[i]);if(q[ans-now[i]]>p[now[i]]+1)b.erase(b.find(p[now[i]]));if(ans>=now[i]+1&&q[ans-now[i]-1]>p[now[i]]+1)c.erase(c.find(p[now[i]]));if(q[ans-now[i]]>p[now[i]])--cnt;p[now[i]]=a[i];if(q[ans-now[i]]>p[now[i]]+1)b.insert(p[now[i]]);if(ans>=now[i]+1&&q[ans-now[i]-1]>p[now[i]]+1)c.insert(p[now[i]]);if(q[ans-now[i]]>p[now[i]])++cnt;}}return Ot(),0;
}

\(F\)

計蒜幾盒的精度是真的難受啊……

首先，如果我們能算出\(g[s]\)表示\(s\)這個集合的木棒能組成的最大面積，那么我們就可以直接\(3^n\)的\(dp\)求得答案

所以怎么算最大面積呢……

首先我們把\(s\)這個集合里的木棒按升序排序，記為\(a_1,a_2,...,a_m\)，根據三角形不等式，它們能構成多邊形當且僅當

\[a_m<{1\over 2}\sum_{i=1}^ma_i\]

然后現在問題是如何最大化面積

有一個結論是面積最大當且僅當所有的頂點在同一個圓上，證明如下（然而我并看不懂就是了）

然后我們現在就是需要二分這個圓的半徑，這個要分兩種情況討論，圓心在多邊形內和多邊形外。

如果在多邊形內，那么我們看看當前所有木棒覆蓋的圓心角是否大于\(\pi\)，如果是的話我們需要增大半徑，否則要縮小半徑

如果在多邊形外，我們看看\(a_1,...,a_{m-1}\)的木棒覆蓋的圓心角和\(a_m\)覆蓋的圓心角的大小之比。如果\(a_m\)覆蓋的圓心角更大，我們需要增大半徑，否則減少半徑

然后就直接暴力子集\(dp\)就可以了

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define inf 0x3f3f3f3f
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){R int res,f=1;R char ch;while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');return res*f;
}
const int N=15,M=(1<<12)+5;const double Pi=acos(-1.0),eps=1e-15;
inline int sgn(R double x){return x<-eps?-1:x>eps;}
inline double sqr(R double x){return x*x;}
int a[N],b[N],p[M],st[N][N],top[N];double d[M],g[M];
int n,lim,tot,ans,cnt;
bool ck1(double mid){double s=0;fp(i,1,tot-1)s+=asin(b[i]*0.5/mid);return sgn(s-asin(b[tot]*0.5/mid))>0;
}
bool ck2(double mid){double s=0;fp(i,1,tot)s+=asin(b[i]*0.5/mid);return sgn(Pi-s)>0;
}
int main(){
//  freopen("testdata.in","r",stdin);int T=read();while(T--){n=read();fp(i,0,n-1)a[i]=read();sort(a,a+n),lim=(1<<n);fp(i,1,lim-1){tot=d[i]=g[i]=cnt=0;fp(j,0,n-1)(i>>j&1)?b[++tot]=a[j],cnt+=a[j]:0;if(tot<3||cnt-b[tot]<=b[tot])continue;cnt=0;double Ri=0;if(!ck2(b[tot]*0.5)){for(R double l=b[tot]*0.5,r=10000,mid=(l+r)*0.5;++cnt<70;mid=(l+r)*0.5)ck2(mid)?Ri=r=mid:l=mid;fp(j,1,tot)g[i]+=sqrt(sqr(Ri)-sqr(b[j])*0.25)*b[j]*0.5;}else{for(R double l=b[tot]*0.5,r=10000,mid=(l+r)*0.5;++cnt<70;mid=(l+r)*0.5)ck1(mid)?Ri=r=mid:l=mid;fp(j,1,tot-1)g[i]+=sqrt(sqr(Ri)-sqr(b[j])*0.25)*b[j]*0.5;g[i]-=sqrt(sqr(Ri)-sqr(b[tot])*0.25)*b[tot]*0.5;}}fp(i,0,lim-1)d[i]=0;d[0]=1;fp(i,0,lim-1)if(sgn(d[i])>0)for(R int s=(lim-1)^i,j=s;j;j=(j-1)&s)if(sgn(g[j])&&cmax(d[i|j],d[i]*g[j]))p[i|j]=i;ans=1,tot=0,d[0]=0;fp(i,1,lim-1)sgn(d[i]-d[ans])>0?ans=i:0;printf("%.10lf\n",d[ans]);for(;ans;ans=p[ans])if(sgn(g[ans^p[ans]])>0){top[++tot]=0;for(R int i=0,t=ans^p[ans];i<n;++i)(t>>i&1)?st[tot][++top[tot]]=i:0;}printf("%d\n",tot);fp(i,1,tot){printf("%d ",top[i]);fp(j,1,top[i])printf("%d%c",a[st[i][j]]," \n"[j==top[i]]);}}return 0;
}