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大家在面試過程中經常會考到斐波那契數列，斐波那契數列(Fibonacci)最早由印度數學家Gopala提出，而第一個真正研究斐波那契數列的是意大利數學家 Leonardo?Fibonacci，斐波那契數列的定義很簡單，用數學函數可表示為：

數列從0和1開始，之后的數由前兩個數相加而得出，例如斐波那契數列的前10個數是：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34。

用 Python 實現斐波那契數列常見的寫法有三種，各算法的執行效率也有很大差別，在面試中也會偶爾會被問到，通常面試的時候不是讓你簡單的用遞歸寫寫就完了，還會問你時間復雜度怎樣，空間復雜度怎樣，有沒有可改進的地方。

遞歸法

所謂遞歸就是指函數的定義中使用了函數自身的方法。

遞歸是一種代碼最簡潔的方法，但它是效率非常低，因為會出現大量的重復計算，時間復雜度是：O(1.618 ^ n)，1.618是黃金分割。同時受限于 Python 中遞歸的最大深度是1000，所以用遞歸來求解并不是一種可取的辦法。

遞推法

遞推法就是從0和1開始，前兩項相加逐個求出第3、第4個數，直到求出第n個數的值。

這種算法的時間復雜是O(n)，呈線性增長，如果數據量巨大，速度越到后面會越慢。上面兩種方式都是使用分而治之的思想，就是把一個大的問題化小，然后利用小問題的求解得到目標問題的答案。

矩陣法

線性代數》是大學計算機專業低年級的課程，這門課教的就是矩陣，那時候覺得這東西學起來很枯燥，沒什么用處，工作后你才發現搞機器學習、數據分析、數據建模時大有用處，書到用時方恨少。其實矩陣的本質就是線性方程式。

斐波那契數列中兩個相鄰的項分別為：F(n) 和 F(n - 1)，如果把這兩個數當作一個2行1列的矩陣可表示為：

因為 F(n) = F(n-1)+F(n-2)，所以就有：

通過反推，其實它是兩個矩陣的乘積得來的：

依此類推：

最后可推出：

因此想要求出F(n)的值，只要能求出右邊矩陣的n-1次方的值，最后求得兩矩陣乘積，取新矩陣的第一行的第一列的值即可，比如n=3時：

可以得知F(3)的值2，F(2)的值為1，因為冪運算可以使用二分加速，所以矩陣法的時間復雜度為 O(log n)。

我們可以用科學計算包 numpy 來實現矩陣法：

總結

3種不同的算法效率對比：

從上面圖可以看出遞歸法效率驚人的低，矩陣法在數據量比較大的時候才突顯出它的優勢，遞推法隨著數據的變大，所花的時間也越來越大。

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