基本概念

復數

復數$C$的定義為

$$C=R+jI\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

$R,I$為實數，$R$是實部，$I$是虛部，$j=\sqrt{?1}$。復數的共軛表示為$C^{?}$

$$C^{?}=R?jI\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

從幾何角度來看，復數可視為平面（稱為復平面）上的一個點，其橫坐標是實軸，縱坐標是虛軸，也就是說$R+jI$是得平面直角坐標系中的點$(R,I)$

極坐標表示復數

$$C=|C|(\text{cos}\theta +\text{jsin}\theta )\text{\hspace{1em}(4.5)}$$
$|C|=\sqrt{R^2+I^2}$是從復平面的原點延伸到點$(R,I)$的向量長度，$\theta$是該向量與實軸的夾角。

使用歐拉公式
$$e^{j\theta }=\text{cos}\theta +\text{jsin}\theta \text{\hspace{1em}(4.6)}$$

可以給坐極坐標的復數表示為
$$C=|C|e^{j\theta }\text{\hspace{1em}(4.7)}$$

復函數：
$F(u)=R(u)+jI(u)$
$F^{?}(u)=R(u)?jI(u)$
幅值是
$|F(u)|=\sqrt{R(u{)}^2+I(u{)}^2}$

a = np.complex(1 + 2j)

radian = np.arctan2(a.imag, a.real)
radian

1.1071487177940904

degree = np.rad2deg(radian)
degree

63.43494882292201

傅里葉級數

周期為$T$的連續變量$t$的周期函數$f(t)$，可表示為乘以適當系數的正弦函數和余弦函數之和
$$f(t)=\sum _{n=?\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{j\frac{2\pi n}{T}t}\text{\hspace{1em}(4.8)}$$

$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_{?T/2}^{T/2}f(t)e^{?j\frac{2\pi n}{T}t}\text{\hspace{1em}(4.9)}$$

沖激函數及其取樣（篩選）性質

連續變量$t$在$t=0$處的單位沖激表示為$\delta (t)$，定義是
$$\delta (t)=\{\begin{array}{ll}\infty ,& t=0\\ 0,& t=0\end{array}\text{\hspace{1em}(4.10)}$$
它被限制為滿足恒等式
$${\int }_{?\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1\text{\hspace{1em}(4.11)}$$

自然地，將$t$解釋為時間時，沖激就可視為幅度無限、持續時間為0、具有單位面積的尖峰信息。沖激具有關于積分的所謂取樣性質

$${\int }_{?\infty }^{\infty }f(t)\delta (t)dt=f(0)\text{\hspace{1em}(4.12)}$$

沖激
沖激并不是通常意義上的函數，更準確的名稱是分布或廣義函數。

任意一點$t_0$的取樣性質為：
$${\int }_{?\infty }^{\infty }f(t)\delta (t?t_0)dt=f(t_0)\text{\hspace{1em}(4.13)}$$

例如： 若$f(t)=\text{cos}(t)$，則使用沖激$\delta (t?\pi )$得到結果$f(\pi )=cos(\pi )=?1$

沖激串KaTeX parse error: \tag works only in display equations

離散沖激定義為
$$\delta (x)=\{\begin{array}{ll}1,& x=0\\ 0,& x=0\end{array}\text{\hspace{1em}(4.15)}$$
$$\sum _{?\infty }^{\infty }\delta (x)=1\text{\hspace{1em}(4.16)}$$
$$\sum _{?\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)=f(0)\text{\hspace{1em}(4.17)}$$
$$\sum _{?\infty }^{\infty }f(x)\delta (x?x_0)dt=f(x_0)\text{\hspace{1em}(4.18)}$$

def impulse(x, x0):return np.piecewise(x, [x==x0, x!=x0], [1, 0])

# 按定義寫的，不知道是否正確，如不正確，請指出，感謝，只做展示
x = np.arange(10)
plt.stem(x, impulse(x, 5), )
plt.show()

def impulse_serial(x):s = np.ones_like(x)return s

# 只做展示
x = np.arange(10)
plt.stem(impulse_serial(x))
plt.show()

連續單變量函數的傅里葉變換

傅里葉變換對

連續變量$t$的連續函數$f(t)$的傅里葉變換由J{f(t)}\mathfrak{J}\{f(t)\}J{f(t)}表示，定義為
J{f(t)}=∫?∞∞f(t)e?j2πμtdt(4.19)\mathfrak{J}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j2\pi\mu t}dt \tag{4.19}J{f(t)}=∫?∞∞?f(t)e?j2πμtdt(4.19)
J{f(t)}=F(μ)\mathfrak{J}\{f(t)\} = F(\mu)J{f(t)}=F(μ)
所以有
$$F(\mu )={\int }_{?\infty }^{\infty }f(t)e^{?j2\pi \mu t}dt\text{\hspace{1em}(4.20)}$$
反變換：
$$f(t)={\int }_{?\infty }^{\infty }F(\mu )e^{?j2\pi \mu t}d\mu \text{\hspace{1em}(4.21)}$$

通常表示為$f(t)?F(\mu )$

使用歐拉公式，可以寫為
$$F(\mu )={\int }_{?\infty }^{\infty }f(t)[\text{cos}(2\pi \mu t)?\text{jsin}(2\pi \mu t)]dt\text{\hspace{1em}(4.22)}$$

傅里葉變換是$f(t)$乘以正弦函數的展開式， 其中正弦函數的頻率是由$\mu$值決定。因此積分后留下的唯一變量是頻率，因此，我們說傅里葉變換域是頻率域。

盒式函數的傅里葉變換

$\begin{array}{rl}F(\mu )& ={\int }_{?\infty }^{\infty }f(t)e^{?j2\pi \mu t}dt={\int }_{?W/2}^{W/2}f(t)A{e}^{?j2\pi \mu t}dt\\ & =\frac{?A}{j2\pi \mu }[e^{?j2\pi \mu t}{]}_{?W/2}^{W/2}=\frac{?A}{j2\pi \mu }[e^{?j\pi \mu W}?e^{j\pi \mu W}]\\ & =\frac{A}{j2\pi \mu }[e^{j\pi \mu W}?e^{?j\pi \mu W}]\\ & =AW\frac{sin(\pi \mu W)}{(\pi \mu W)}\end{array}$

最后的結果是$\text{sinc}$函數
$$\text{sinc}(m)=\frac{\text{sin}(\pi m)}{(\pi m)}\text{\hspace{1em}(4.23)}$$

通常傅里葉變換中包含復數項，這是為了顯示變換的幅值（一個實量）的約定。這個幅值稱為傅里葉頻譜或頻譜：
$$|F(\mu )|=AW\left|\frac{sin(\pi \mu W)}{(\pi \mu W)}\right|$$

def box_function(x, w):w_2 = w / 2y = np.where(x, x > -w_2, 0)y = np.where(x < w_2, y, 0)return y

import mpl_toolkits.axisartist as axisartist
def setup_axes(fig, rect):ax = axisartist.SubplotZero(fig, rect)fig.add_axes(ax)for direction in ["xzero", "yzero"]:# adds arrows at the ends of each axisax.axis[direction].set_axisline_style("-|>")# adds X and Y-axis from the originax.axis[direction].set_visible(True)for direction in ["left", "right", "bottom", "top"]:# hides bordersax.axis[direction].set_visible(False)return ax

# 盒式函數的傅里葉變換
x = np.arange(-5, 5, 0.1)
y = box_function(x, 6)fig = plt.figure(figsize=(15, 5))
ax_1 = setup_axes(fig, 131)
ax_1.plot(x, y), ax_1.set_title('f(t)', loc='center', y=1.05), ax_1.set_ylim([0, 2]), ax_1.set_yticks([])f_u = np.sinc(x)
ax_2 = setup_axes(fig, 132)
ax_2.plot(x, f_u), ax_2.set_title('F(u)', loc='center', y=1.05), ax_2.set_yticks([]), #ax_2.set_ylim([-1, 2]),f_u_absolute = abs(f_u)
ax_3 = setup_axes(fig, 133)
ax_3.plot(x, f_u_absolute), ax_3.set_title('|F(u)|', loc='center', y=1.05), ax_3.set_yticks([]), #ax_3.set_ylim([-1, 2]),plt.tight_layout()
plt.show()

沖激和沖激串的傅里葉變換

J{δ(t)}=F(μ)=∫?∞∞δ(t)e?j2πμtdt=∫?∞∞e?j2πμtδ(t)dt=e?j2πμ0=e0=1\begin{aligned} \mathfrak{J}\{\delta(t)\} & = F(\mu) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-j2\pi\mu t}dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi\mu t} \delta(t)dt \\ & = e^{-j2\pi\mu_0} \\ & = e^0 = 1 \end{aligned}J{δ(t)}?=F(μ)=∫?∞∞?δ(t)e?j2πμtdt=∫?∞∞?e?j2πμtδ(t)dt=e?j2πμ0?=e0=1?

J{δ(t?t0)}=F(μ)=∫?∞∞δ(t?t0)e?j2πμtdt=∫?∞∞e?j2πμtδ(t?t0)dt=e?j2πμt0\begin{aligned} \mathfrak{J}\{\delta(t - t_0)\} & = F(\mu) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - t_0) e^{-j2\pi\mu t}dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi\mu t} \delta(t - t_0)dt \\ & = e^{-j2\pi\mu t_0} \\ \end{aligned}J{δ(t?t0?)}?=F(μ)=∫?∞∞?δ(t?t0?)e?j2πμtdt=∫?∞∞?e?j2πμtδ(t?t0?)dt=e?j2πμt0??

沖激串的傅里葉變換

S(μ)=J{SΔT(t)}=J{1Δ∑n=?∞∞ej2πnΔTt}=1ΔTJ{∑n=?∞∞ej2πnΔTt}=1ΔT∑n=?∞∞δ(μ?nΔT)\begin{aligned} S(\mu) & = \mathfrak{J}\{S_{\Delta T}(t)\} = \mathfrak{J}\{\frac{1}{\Delta } \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{j\frac{2\pi n}{\Delta T}t}\} \\ & = \frac{1}{\Delta T} \mathfrak{J}\{\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{j\frac{2\pi n}{\Delta T}t}\} \\ & = \frac{1}{\Delta T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(\mu - \frac{n}{\Delta T}) \\ \end{aligned}S(μ)?=J{SΔT?(t)}=J{Δ1?n=?∞∑∞?ejΔT2πn?t}=ΔT1?J{n=?∞∑∞?ejΔT2πn?t}=ΔT1?n=?∞∑∞?δ(μ?ΔTn?)?

卷積

$$(f?h)(t)={\int }_{?\infty }^{\infty }f(\tau )h(t?\tau )d\tau \text{\hspace{1em}(4.24)}$$

J{(f?h)(t)}=∫?∞∞[∫?∞∞f(τ)h(t?τ)dτ]e?j2πμtdt=∫?∞∞f(τ)[∫?∞∞h(t?τ)e?j2πμtdt]dτ=H(μ)∫?∞∞f(τ)e?j2πμτdτ=H(μ)F(μ)=(H?F)(μ)\begin{aligned} \mathfrak{J}\{(f \star h)(t) \} & = \int_{-\infty}^{\infty} \bigg[\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) h(t - \tau) d\tau \bigg] e^{-j2\pi \mu t} dt\\ & = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \bigg[\int_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) e^{-j2\pi \mu t} dt\bigg] d\tau \\ & = H(\mu) \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^{-j2\pi \mu \tau} d\tau \\ & = H(\mu)F(\mu) = (H \bullet F)(\mu) \end{aligned}J{(f?h)(t)}?=∫?∞∞?[∫?∞∞?f(τ)h(t?τ)dτ]e?j2πμtdt=∫?∞∞?f(τ)[∫?∞∞?h(t?τ)e?j2πμtdt]dτ=H(μ)∫?∞∞?f(τ)e?j2πμτdτ=H(μ)F(μ)=(H?F)(μ)?

• 傅里葉正變換
  $$(f?h)(t)?(H?F)(\mu )\text{\hspace{1em}(4.25)}$$

• 傅里葉反變換
  $$(f?h)(t)?(H?F)(\mu )\text{\hspace{1em}(4.26)}$$