運籌學之目標規劃(胡運權版).doc

第七章 目標規劃

§1 目標規劃的提出

線性規劃問題是討論一個給定的線性目標函數在一組線性約束條件下的最大值或最小值問題。對于一個實際問題，管理科學者根據管理層決策目標的要求，首先確定一個目標函數以衡量不同決策的優劣，且根據實際問題中的資源、資金和環境等因素對決策的限制提出相應的約束條件以建立線性規劃模型；然后用計算機軟件求出最優方案并作靈敏度分析以供管理層決策之用。而在一些問題中，決策目標往往不只一個，且模型中有可能存在一些互相矛盾的約束條件的情況，用已有的線性規劃的理論和方法無法解決這些問題。因此，1961年美國學者查恩斯(A.Charnes)和庫柏(W.W.Coopor)提出了目標規劃的概念與數學模型，以解決經濟管理中的多目標決策問題。

我們將通過幾個例子來說明在實際應用中線性規劃存在一系列的局限性。

例1 某廠生產A、B兩種產品每件所需的勞動力分別為4個人工和6個人工，所需設備的單位臺時均為1。已知該廠有10個單位機器臺時提供制造這兩種產品，并且至少能提供70個人工。又，A、B產品的利潤，每件分別為300元和500元。試問：該廠各應生產多少件A、B產品，才能使其利潤值最大？

解 設該廠能生產A、B產品的數量分別為件，則有

圖解法求解如下：

由上圖可得，滿足約束條件的可行解集為，即機時約束和人工約束之間產生矛盾，因而該問題無解。但在實際中，該廠要增加利潤，不可能不生產A、B兩種產品，而由線性規劃模型無法為其找到一個合適的方案。

例2 某廠為進行生產需采購A、B兩種原材料，單價分別為70元/公斤和50元/公斤。現要求購買資金不超過5000元，總購買量不少于80公斤，而A原材料不少于20公斤。問如何確定最好的采購方案(即花掉的資金最少，購買的總量最大)？

解 這是一個含有兩個目標的數學規劃問題。設分別為購買兩種原材料的公斤數，為花掉的資金，為購買的總量。建立該問題的數學模型形式如下：

對于這樣的多目標問題，線性規劃很難為其找到最優方案。極可能的結果是，第一個方案使第一目標的結果值優于第二方案，同時第二方案使第二目標的結果值優于第一方案。也就是說很難找到一個最優方案，使兩個目標的函數值同時達到最優。另外，對于多目標問題，還存在有多個目標存在有不同重要程度的因素，而這也是線性規劃所無法解決的。

在線性規劃的基礎上，建立了一種新的數學規劃方法——目標規劃法，用于彌補線性規劃的上述局限性。總的來說，目標規劃和線性規劃的不同之處可以從以下幾點反映出來：

1、線性規劃只能處理一個目標，而現實問題往往存在多個目標。目標規劃能統籌兼顧地處理多個目標的關系，求得切合實際需求的解。

2、線性規劃是求滿足所有約束條件的最優解。而在實際問題中，可能存在相互矛盾的約束條件而導致無可行解，但此時生產還得繼續進行。即使存在可行解，實際問題中也未必一定需要求出最優解。目標規劃是要找一個滿意解，即使在相互矛盾的約束條件下也找到盡量滿足約束的滿意解，即滿意方案。

3、線性規劃的約束條件是不分主次地等同對待，這也并不都符合實際情況。而目標規劃可根據實際需要給予輕重緩急的考慮。

§2 目標規劃的基本概念與數學模型

§2.1 基本概念

在這一小節里介紹與目標規劃有關的基本概念。

1．偏差變量

對于例1，造成無解的關鍵在于約束條件太死板。設想把約束條件“放松”，比如占用的人力可以少于70人的話，機時約束和人工約束就可以不再發生矛盾。在此基礎上，引入了正負偏差的概念，來表示決策值與目標值之間的差異。

——正偏差變量，表示決策值超出目標值的部分，目標規劃里規定；

——負偏差變量，表示決策值未達到目標值的部分，目標規劃里規定。

實際操作中，當目標值(也就是計劃的利潤值)確定時，所作的決策可能出現以下三種情況之一：

(1)決策值超過了目標值(即完成或超額完成計劃利潤值)，表示為，；

(2)決策值未達到目標值(即未完成計劃利潤值)，表示為，；

(3)決策值恰好等于目標值(即恰好完成計劃利潤指標)，表示為，。

以上三種情況，無論哪種情況發生，均有 ?=0。

2．絕對約束與目標約束

絕對約束也稱系統約束，是指必須嚴格滿足的等式約束和不等式約束，它對應于線性規劃模型中的約束條件。

目標約束是目標規劃所特有的。當確定了目標值，進行決策時，允許與目標值存在正或負的偏差。因而目標約束中加入了正、負偏差變量。

如，例1中假定該企業計劃利潤值為5000元，那么對于目標函數

，可變換為

。

該式表示決策值與目標值5000之間可能存在正或負的偏差(請讀者分別按照上面所講的三種情況來理解)。

絕對約束也可根據問題的需要變換為目標約束。此時將約束右端項看作所追求的目標值。如，例1中絕對約束，可變換為