[HZNOI #koishi] Magic

[HZNOI #514] Magic

題意

給定一個 \(n\) 個點 \(m\) 條邊的有向圖, 每個點有兩個權值 \(a_i\) 和 \(b_i\), 可以以 \(b_i\) 的花費把第 \(i\) 個點的 \(a_i\) 變成 \(0\). 最后每個點 \(i\) 產生的花費為所有從 \(i\) 出發能通過一條有向邊直接到達的點 \(j\) 的 \(a_j\) 的 \(\max\). 最小化這個過程中的總花費.

\(n\le 1000,m\le50000\)

題解

一點都不套路的最小割.

果然我是不會網絡流的.

對于每個點, 如果將它的鄰接點按照 \(a_j\) 降序排序的話, 不難發現必然要干掉一個前綴的所有 \(a_j\) 才能讓這個點在最后統計的時候產生的花費變小. 但是多次干掉同一個點不能重復計算花費.

那么我們一點都不自然地想到最小割. 先把所有點拆成兩個, 一個負責計算最終統計時的花費 (A類點), 一個負責計算被干掉的時候產生的花費 (B類點). 被干掉的時候產生的花費直接連一條流量為 \(b_i\) 的邊到 \(t\) 就可以了. 最終統計時的花費先從 \(s\) 連一條 \(\infty\) 邊到當前點, 然后按照 \(a_j\) 降序拉出一條鏈來, 鏈上的每個點代表一條邊, 權值為這條邊到達的點的 \(a_j\). 然后再從鏈上的每個點連一條 \(\infty\) 邊到 \(j\) 對應的點. 這樣的話如果 \(s\verb|-|t\) 被割斷, 那么對于每一個 A 類點, 后面必然是割掉了某個 \(a_j\), 同時所有大于被割斷的 \(a_j\) 的邊鄰接的點必然都已經被割掉了 \(b_i\).

建圖Dinic就可以了.

這個拉鏈然后最小割的套路依然沒有學會...果然我還是太菜了QAQ...

什么你問我 \(n+m\) 個點Dinic怎么跑過去的? 我怎么知道?Dinic的運行速度大概都是靠信仰吧...

戀戀世界第一!

參考代碼

#include <bits/stdc++.h>const int MAXV=1e5+10;
const int MAXE=5e6+10;
const int INF=0x7FFFFFFF;struct Edge{int from;int to;int flow;Edge* rev;Edge* next;
};
Edge E[MAXE];
Edge* head[MAXV];
Edge* cur[MAXV];
Edge* top=E;int v;
int e;
int a[1010];
int b[1010];
int depth[MAXV];
std::vector<int> link[1010];bool BFS(int,int);
int Dinic(int,int);
int DFS(int,int,int);
void Insert(int,int,int);int main(){freopen("magic.in","r",stdin);freopen("magic.out","w",stdout);scanf("%d%d",&v,&e);for(int i=1;i<=v;i++)scanf("%d",a+i);for(int i=1;i<=v;i++)scanf("%d",b+i);for(int i=0;i<e;i++){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);link[a].push_back(b);}for(int i=1;i<=v;i++)std::sort(link[i].begin(),link[i].end(),[](int a,int b){return ::a[a]>::a[b];});int s=0,t=1,cnt=v*2+1;for(int i=1;i<=v;i++){Insert(s,i+1,INF);Insert(i+v+1,t,b[i]);int last=i+1;for(size_t j=0;j<link[i].size();j++){++cnt;Insert(cnt,v+link[i][j]+1,INF);Insert(last,cnt,a[link[i][j]]);last=cnt;}}printf("%d\n",Dinic(s,t));return 0;
}int Dinic(int s,int t){int ans=0;while(BFS(s,t))ans+=DFS(s,INF,t);return ans;
}bool BFS(int s,int t){memset(depth,0,sizeof(depth));std::queue<int> q;q.push(s);depth[s]=1;cur[s]=head[s];while(!q.empty()){s=q.front();q.pop();for(Edge* i=head[s];i!=NULL;i=i->next){if(i->flow>0&&depth[i->to]==0){depth[i->to]=depth[s]+1;cur[i->to]=head[i->to];if(i->to==t)return true;q.push(i->to);}}}return false;
}int DFS(int s,int flow,int t){if(s==t||flow<=0)return flow;int rest=flow;for(Edge*& i=cur[s];i!=NULL;i=i->next){if(i->flow>0&&depth[i->to]==depth[s]+1){int tmp=DFS(i->to,std::min(rest,i->flow),t);if(tmp<=0)depth[i->to]=0;rest-=tmp;i->flow-=tmp;i->rev->flow+=tmp;if(rest<=0)break;}}return flow-rest;
}inline void Insert(int from,int to,int flow){top->from=from;top->to=to;top->flow=flow;top->rev=top+1;top->next=head[from];head[from]=top++;top->from=to;top->to=from;top->flow=0;top->rev=top-1;top->next=head[to];head[to]=top++;
}