寫在前面

前文重點介紹時域分析法、本文將繼續學習控制系統的另外幾種分析方法，包括根軌跡法、頻率分析法、狀態空間分析法。再次強調，在這里只是做了一個系統化的概述，目的是讓學習PID，特別是用PID的工程人員有一個對基礎知識的再次復習鞏固。如果你是為考學，則需要更深入系統學習的。

目錄緊接上文。

一、控制系統的基本分析方法

1.3 根軌跡法

由于以前求解高階系統特征比較困難，從而限制了時域分析法在高階系統的應用。根軌跡法是通過系統開環傳遞函數尋求其閉環特征根的方法，它是一種圖解的方法，根據系統閉環根軌跡圖，不僅可以判別系統的穩定性，而且還可以分析系統的動態品質，從而為改善及設計系統提供依據。

• 所謂根軌跡，是指當系統開環傳遞函數的某個參數（如開環增益$K$）由零到無窮大變化時，閉環特征根在$s$平面上移動所畫出的軌跡。

• 利用根軌跡分析系統的動態性能

  • 當控制系統在$K$由零到無窮大變化時，其閉環特征根是變化的，只要$K$值確定后，閉環的根也確定了，系統的動態品質也確定了。
  • 閉環零極點分布與階躍響應的定性關系：
    • 要求系統穩定，必須使所有的閉環極點$s_i$均位于$s$平面的左半部。
    • 要求系統快速性好，應使閉環極點遠離虛軸。
    • 要求系統平穩性好，則復數極點最好設置在$s$平面中與負實軸成$\pm 45$度夾角附近。
    • 要求動態過程盡快消失，則須使閉環極點之間的距離加大，零點應靠近極點。
  • 主導極點——離虛軸最近的閉環極點（復數極點或實數極點），對系統動態性能影響最大，起著決定性的作用。把這種極點稱為主導極點。

    一般，其它極點的實部比主導極點的實部絕對值大5倍（粗略估算時2-3倍）以上時，則那些極點的作用可以忽略。工程上往往只用主導極點估算系統的動態性能。

  • 偶極子——某閉環極點與閉環零點的距離比它們的模值小一個數量極或更小，則稱它們為偶極子。

    偶極子概念對控制系統的綜合設計很有用，可以有意識地在系統中加入適當的閉環零點，構成偶極子，以抵消對動態性能影響較大的不利極點，使系統的動態過程變好。

1.4 頻率分析法

頻率法是經典控制理論中一種重要的分析系統品質的方法，分析問題的依據是系統的另一種數學模型——頻率特性模型。

• 頻域分析法特點

  • ⑴ 研究穩態正弦響應的幅值和相角隨頻率的變化規律；
  • ⑵ 由開環頻率特性研究閉環穩定性及性能；
  • ⑶ 頻率分析法為圖解分析法；
  • ⑷ 它有一定的近似性。

• 系統的頻率響應定義為系統對正弦輸入信號的穩態響應。在這種情況下，系統的輸入信號是正弦信號，系統的內部信號以及系統的輸出信號也都是穩態的正弦信號，這些信號的頻率相同，幅值和相角則各不相同。

• 一個穩定的系統，假設有一正弦信號輸入
  $$r(t)=A_{r}sinwt$$

• 在穩態情況下，系統的輸出信號以及系統所有其它點的信號均為正弦信號，則穩態輸出可寫為:
  $$c(t)=A_{c}sin(wt+?)$$

• 頻域特性

  • 保持輸入信號振幅$A_r$不變，逐次改變輸入信號的頻率$\omega$，則可得到一系列穩態輸出的振幅$A_c$ 及相位$?$，把振幅的比值$M$隨頻率變化的特性稱為幅頻特性，把相位$?$隨頻率變化的特性稱為相頻特性，二者統稱為頻率特性。

$$M=\frac{A_c}{A_r}$$

• 頻率分析法即利用系統的頻率特性來進行分析。

1.5 狀態空間分析法

• 狀態空間的基本概念

  • （1）狀態 控制系統的狀態是指能完全描述系統動態行為(動態狀態)的一個最小變量組，它是時間的函數。所謂最小變量組是指這個變量組中各變量之間是相互獨立的。
  • （2）狀態變量 狀態變量是指能完全描述系統行為的最小變量組的每一個變量。
  • （3）狀態向量 若完全描述與各給定系統的動態行為需要$n$個狀態變量$x_1,x_2,\dots ,x_n$,用這n個狀態變量作為分量所構成的向量，就稱為該系統的狀態向量。
  • （4）狀態空間 以各狀態變量$x_1,x_2\dots ,x_n$為坐標軸所組成的$n$維空間稱為狀態空間。
    
    

• 控制系統的狀態空間描述——狀態空間表達式

  • （1）狀態方程 系統輸出引起狀態的變化，它是一個運動過程，描述這個運動過程的是狀態方程。狀態方程的數學形式表征為系統狀態變量變化率的一階微分方程組。各方程的左端分別是每一個狀態變量的一階導數，右端是狀態變量和輸入變量所組成的代數多項式。
  • （2）輸出方程 輸出方程是在指定輸出變量的情況下，該輸出變量與狀態變量以及輸入變量之間的函數關系。狀態變化決定輸出的變化，這是一個變換過程，所以輸出方程的數學形式表征為一個變換關系的代數方程。
  • （3）狀態空間表達式 狀態空間和輸出方程總合起來，構成一個系統動態的完整描述，稱為系統的狀態空間表達式(或稱動態方程）。
  • （4）狀態空間描述的模擬結構圖(或稱狀態變量圖) 狀態方程和輸出方程可以利用模擬計算機的模擬結構圖表達出來，它能形象地反映系統輸入、輸出和系統狀態變量之間的相互關系。

• 狀態空間表達式的建立

  • （1）根據系統的物理機理直接建立狀態空間表達式 一般常見的控制系統，就其物理屬性而言，有電氣的、機械的、機電的、液壓的、熱力的等等。根據其物理定律，如基爾霍夫定律、牛頓定律、能量守恒定律、熱力學定律等，即可建立系統的狀態方程；當指定系統的輸出后，可寫出系統的輸出方程。
  • （2）根據系統的傳遞函數建立狀態空間表達式 由系統傳遞函數求其相應的狀態空間表達式。

• 狀態空間方程的能控能觀性判定方法

  • 格拉姆矩陣判據
  • 秩判據
  • PBH判據
  • 約當標準型判據

• 狀態空間方程的穩定性判定方法

  • 李雅普諾夫第一法（又稱間接法）
  • 李雅普諾夫第二法（又稱直接法）

下節預告

至此，控制系統的基礎知識已經全部介紹完成了，從下節開始，我們正式開始講解PID算法。

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本節完

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要有自信，然后全力以赴 —— 假如有這種信念，任何事情十有八九都能成功。

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