【矩陣論】Chapter 7—Hermite矩陣與正定矩陣知識點總結復習

文章目錄

- 1 Hermite矩陣
- 2 Hermite二次型
- 3 Hermite正定（非負定矩陣）
- 4 矩陣不等式

1 Hermite矩陣

定義

設 $A$ 為 $n$ 階方陣，如果稱 $A$ 為Hermite矩陣，則需滿足 $A^H=A$ ，其中 $A^H$ 表示 $A$ 的共軛轉置，也稱Hermite轉置，具體操作如下：
1. 將矩陣的每個元素取共軛。對于復數 $a + bi$ ，它的共軛是 $a ? bi$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是實部和虛部
2. 將矩陣的行和列互換
Hermite矩陣與實對稱矩陣的性質和證明方法都十分相似
Hermite矩陣性質

若 $A, B$ 為 $n$ 階Hermite矩陣，則
1. $A$ 的所有特征值全是實數
2. $A$ 的不同特征值所對應的特征向量是相互正交的
3. 對正整數 $k$ ， $A^k$ 也是Hermite矩陣
4. 若 $A$ 可逆，則 $A^{-1}$ 也是Hermite矩陣
5. 對實數 $k, p, k A + pB$ 也是Hermite矩陣
Hermite矩陣充分必要條件

設 $A\in C^{n\times n},B\in C^{n\times n}$
1. $A$ 是Hermite矩陣的充要條件是存在酉矩陣 $U$ 使得
  $U^HAU=\Lambda =diag(\lambda_1,...,\lambda_n)$
  其中 $\lambda_1,...,\lambda_n$ 均為實數。實對稱矩陣則是存在正交矩陣 $U ...$
2. A是Hermite矩陣的充要條件是對任意方陣 $S$ ， $S^HAS$ 是Hermite矩陣
3. 如果 $A, B$ 是Hermite陣，則 $A B$ 是Hermite矩陣的充要條件是 $A B = B A$
相合標準形

設 $A$ 為 $n$ 階Hermite矩陣，則 $A$ 相合矩陣
$D_0=\begin{pmatrix} I_s & 0 & 0 \\ 0 & -I_{r-s} & 0 \\ 0 & 0 & O_{n-r} \end{pmatrix}$
其中 $r = r ank (A)$ ， $s$ 是 $A$ 的正特征值（重特征值按重數計算）的個數。矩陣 $D_0$ 則稱為 $n$ 階Hermite矩陣 $A$ 的相合標準形。
Sylvester慣性定律

設 $A, B$ 為 $n$ 階Hermite矩陣，則 $A$ 與 $B$ 相合的充要條件是
$I n (A) = I n (B)$
其中 $I n (A)$ 稱為 $A$ 的慣性， $In(A)=\{\pi(A),v(A),\delta(A)\}$ 。其中 $\pi(A)$ , $v (A)$ , $\delta(A)$ 分別表示 $A$ 的正、負和零特征值的個數（重特征值按重數計算）。則 $A$ 非奇異的充要條件為 $\delta(A)=0$ 且 $\pi(A)+v(A)=rank(A)$ 。

2 Hermite二次型

Hermite二次型定義

由 $n$ 個復變量 $x_1,...,x_n$ ，系數為負數的二次齊式
$f(x_1,...,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\bar{x_i}\bar{x_j}$
其中 $a_{ij}=a_{ji}$ ，稱為Hermite二次型。Hermite二次型可寫為 $f(x)=x^HAx$ ，我們稱 $A$ 的秩就為Hermite二次型的秩。
Hermite二次型的標準形定理

對Hermite二次型 $f(x)=x^HAx$ ，存在酉線性變換 $x = U y$ （其中 $U$ 是酉矩陣）使得Hermite二次型 $f (x)$ 變成標準形（只包含平方項的二次型）
$f(x)=\lambda_1\bar{y_1}y_1+...+\lambda_n\bar{y_n}y_n$
其中 $\lambda_1,...,\lambda_n$ 為 $A$ 的特征值。
Hermite二次型化標準形（酉線性變換）

設 $f(x)=x^HAx$ ，其中 $A$ 為 $n$ 階Hermite矩陣
1. 求出二次型矩陣 $A$ 的特征值 $\lambda_1,...\lambda_n$ 和特征向量 $v_1,...,v_n$ ，并將特征向量 $v_1,...,v_n$ 規范正交
2. 令 $U=(v_1,...,v_n),x=Uy$ ，則
  $f(x)=(Uy)^HA(Uy)=y^HU^HAUy=y^H(U^HAU)y\\=y^H\Lambda y=\lambda_1|y_1|^2+...+\lambda_n|y_n|^2$
Hermite二次型規范形定理

對二次型 $f(x)=x^HAx$ ，存在可逆線性變換 $x = P y$ 使得Hermite二次型 $f (x)$ 化為
$f(x)=\bar{y_1}y_1+...+\bar{y_s}y_s-\bar{y_{s+1}}y_{s+1}-...-\bar{y_r}y_r$
其中 $r=rank(A),s=\pi(A)$ 。上式則為Hermite二次型 $f (x)$ 的規范形，其中 $s$ 和 $(r ? s)$ 分別稱為Hermite二次型的正慣性指數和負慣性指數。
二次型化規范形

設 $f(x)=x^HAx$ ，其中 $A$ 為 $n$ 階Hermite矩陣
1. 將二次型化為標準形，得到標準形 $f(x)=y^H\Lambda y$ 和酉矩陣 $U$
2. 將對角線元素提取出來，即只保留 $\lambda_i$ 的正負性，則
  $f(x)=y^H\Lambda y=y^H(\Lambda_1 D_0 \Lambda_1)y=y^H(\Lambda_1^HD_0\Lambda_1)y\\ =(\Lambda_1y)^HD_0(\Lambda_1y)$
  其中 $\Lambda_1$ 為對角矩陣，對角線元素為 $\sqrt {|\lambda_i}|(1\leq i \leq n)$ 。
3. 令 $y=\Lambda_1^{-1} z$ ，則
  $f(x)=(\Lambda_1\Lambda_1^{-1}z)^HD_0(\Lambda_1\Lambda_1^{-1}z)=z^HD_0z\\=\bar{z_1}z_1+...+\bar{z_s}y_s-\bar{z_{s+1}}z_{s+1}-...-\bar{z_r}z_r$
4. 故 $x=U\Lambda^{-1}z$ ，可逆矩陣 $P=U\Lambda^{-1}$
正定相關概念

設 $f(x)=x^HAx$ 為Hermite二次型
1. 如果 $f (x) > 0$ （等價 $s = r = n$ ），則稱 $f (x)$ 為正定的；
2. 如果 $f(x)\geq0$ （等價 $s = r < n$ ），則稱 $f (x)$ 為半正定（非負定的）的；
3. 如果 $f (x) < 0$ （等價 $s = 0, r = n$ ），則稱 $f (x)$ 為負定的；
4. 如果 $f(x)\leq0$ （等價 $s = 0, r < n$ ），則稱 $f (x)$ 為半負定的；
5. 如果 $f (x)$ 有時為正有時為負（等價 $0<s<r\leq n$ ），則稱 $f (x)$ 為不定的；

3 Hermite正定（非負定矩陣）

定義

根據Hermite二次型的正定（非負定）可以定義Hermite矩陣的正定（非負定）。

設 $A$ 為 $n$ 階Hermite矩陣， $f(x)=x^HAx$
1. 如果 $f (x) > 0$ ，則稱 $A$ 為正定的，記作 $A > 0$ ；
2. 如果 $f(x)\geq0$ ，則稱 $A$ 為半正定（非負定的）的，記作 $A\geq 0$ ；
3. 如果 $f (x) < 0$ ，則稱 $A$ 為負定的，記作 $A < 0$ ；
4. 如果 $f(x)\leq0$ ，則稱 $A$ 為半負定的，記作 $A\leq 0$ ；
5. 如果 $f (x)$ 有時為正有時為負，則稱 $A$ 為不定的；
判斷 $n$ 階Hermite矩陣 $A$ 正定
1. 通過正定矩陣的定義
2. $A$ 的 $n$ 個特征值均為正數
3. $A$ 的順序主子式 $\Delta_k=A\begin{pmatrix}1&\dots&k\\1&\dots&k\end{pmatrix}>0,(k=1,...,n)$ 均為正數
4. $A$ 的所有主子式全大于 $0$
5. 存在 $n$ 階非奇異下三角矩陣 $L$ ，使得 $A=LL^H$ （該分解稱為Cholesky分解）
6. 存在 $n$ 階非奇異矩陣，使得 $A=B^HB$
7. 存在 $n$ 階非奇異Hermite矩陣 $A=S^2$
判斷 $n$ 階Hermite矩陣 $A$ 半正定
1. 通過半正定矩陣的定義
2. $A$ 的 $n$ 個特征值均為非負數
3. $A$ 的所有主子式均非負
定理證明

設 $A, B$ 均為 $n$ 階Hermite矩陣，且 $B > 0$ ，則存在非奇異矩陣 $P$ 使得
$P^HAP=diag(\lambda_1,...,\lambda_n),P^HBP=I$
其中 $\lambda_1,...,\lambda_n$ 是廣義特征值問題的特征值

證明：

$\because B >0$

$\therefore $存在非奇異矩陣$ P_1 $使得$ P_1^HBP_1=I$

又 $\because P_1^HAP_1$ 仍為Hermite矩陣

$\therefore$ 酉矩陣 $U$ 使得
$U^H(P_1^HAP_1)U=diag(\lambda_1,...,\lambda_n)$
令 $P=P_1U$

$\because P$ 非奇異，根據定理 $P^HBP=I$

$\therefore P^HBP=(P_1U)^HB(P_1U)\\=U^HP_1^HBP_1U=I$

又 $\because P_1$ 非奇異，使得 $P_1^HBP_1=I$

$\therefore$
$P^HBP= U^HP_1^HBP_1U=U^H(P_1^HBP_1)U\\=U^HIU=U^HU=I$
$\therefore$
$P^HAP=U^HP_1^HAP_1U=diag(\lambda_1,...,\lambda_n)$
$\therefore$ 我們可以對上式右乘 $P^{-1}$ 和 $B^{-1}$ ，得到
$P^HBP=I \\ P^H=P^{-1}B^{-1}$
$\therefore$ 得到
$P^{-1}B^{-1}AP=diag(\lambda_1,...,\lambda_n)$
即 $B^{-1}A$ 相似于對角矩陣，故 $\lambda_1,...,\lambda_n$ 是矩陣 $B^{-1}A$ 的特征值，即 $\lambda_1,...,\lambda_n)$ 是廣義特征值問題的特征值。

廣義特征值問題 $Ax=\lambda Bx$ ，左乘 $B^{-1}$ ，即為 $B^{-1}Ax=\lambda x$

4 矩陣不等式

定義

設 $A, B$ 都是 $n$ 階Hermite矩陣，如果 $A-B\geq 0$ 則稱 $A$ 大于或等于 $B$ （或稱 $B$ 小于等于 $A$ ），記作 $A\geq B$ （或 $B\leq A$ ），即 $A ? B$ 半正定；如果 $A ? B > 0$ ，則稱 $A$ 大于 $B$ （或稱 $B$ 小于 $A$ ），記作 $A > B$ （或 $B < A$ ），即== $A ? B$ 正定==。
性質

設 $A, B, C$ 均為 $n$ 階Hermite矩陣，則
1. $A\geq B(A>B) \Longleftrightarrow-A\leq -B(-A<-B)\Longleftrightarrow$ 對任意 $n$ 階可逆矩陣 $P$ 都有 $P^HAP\geq P^HBP(P^HAP>P^HBP)$
2. 若 $A>0(A\geq 0),C>0(C\geq 0)$ ，且 $A C = C A$ ，則 $AC>0(AC\geq 0)$
3. 若 $A > B$ ， $P$ 為 $n\times m$ 列滿秩矩陣，則 $P^HAP>P^HBP$
4. 若 $A\geq B$ ， $P$ 為 $n\times m$ 矩陣，則 $P^HAP\geq P^HBP$
定理

設 $A, B$ 都是 $n$ 階Hermite矩陣，且 $A\geq 0,B>0$ ，則
1. $B\geq A$ 的充要條件是 $\rho(AB^{-1})\leq 1$
2. $B > A$ 的充要條件是 $\rho(AB^{-1})<1$
設 $A$ 是 $n$ 階Hermite矩陣，則 $\lambda_{min}(A)I\leq A\leq\lambda_{max}I$ ，這時 $\lambda_{min}$ 和 $\lambda_{max}$ 分別表示 $A$ 的最大和最小特征值。

設 $A, B$ 均為 $n$ 階Hermite正定矩陣，則
1. 若 $A\geq B>0$ ，則 $B^{-1}\geq A^{-1}>0$
2. 若 $A > B > 0$ ，則 $B^{-1}>A^{-1}>0$
設 $A, B$ 均為 $n$ 階Hermite正定矩陣，且 $A B = B A$ ，則
1. 若 $A\geq B$ ，則 $A^2\geq B^2$
  
  證明： $A^2-B^2=(A-B)(A+B)=(A+B)(A-B)$ ，易知 $(A-B)\geq0,A+B>0$ ，則克制
2. 若 $A\geq B$ ，則 $A^2> B^2$
  
  同理得證
設 $A$ 是 $m\times n$ 行滿秩矩陣， $B$ 是 $n\times k$ 矩陣，則
$B^HB\geq (AB)^H(AA^H)^{-1}(AB)$
等號成立當且僅當存在一個 $m\times k$ 矩陣 $C$ 使得 $B=A^HC$