abstract

• 第二類曲線積分,即對坐標的曲線積分

對坐標的曲線積分

變力沿曲線所做的功

• 力是矢量,具有方向屬性,從便利沿曲線做功的問題抽象出第二類曲線積分的定義

• 變力的表示:這里用向量的坐標分解式表示力

• 設一個質點在$xOy$面內受到力$\mathbf{F}(x,y)$=$P(x,y)\mathbf{i}+Q(x,y)\mathbf{j}$(0)的作用,從點$A$沿光滑曲線弧$L$移動到點$B$,其中函數$P(x,y)$和$Q(x,y)$在$L$上連續

  • 質點$M$從位置點$A\to B$的過程中位置坐標記$(x,y)$,每個位置對應的力為$\mathbf{F}(x,y)$,這就是函數$\mathbf{F}(x,y)$和曲線弧$L$的關系;這里假設曲線弧$L$時光滑的
  • 而函數$\mathbf{F}$在曲線弧$L$上連續保證了$L$上的任意位置$(x,y)$都有連續(不會出現無定義的情況或突變)

• 現在問題是計算上述移動過程中$F(x,y)$所做的功

平均功(恒力做功)

• 一種最簡單的情形是$\mathbf{F}$為恒力,且質點從$A$沿直線移動到$B$,那么恒力$F$所做的功$W$為向量$\mathbf{F}$與向量$\overrightarrow{AB}$的數量積,即$\mathbf{W}=\mathbf{F}?\overrightarrow{AB}$(1)
• 恒力:可以令式(0)中的$x,y$取得一組確定得值$({\xi }_i,{\eta }_i)$,即$\mathbf{F}({\xi }_i,{\eta }_i)$

變力做工

• 現在$F(x,y)$是變力,且質點沿的是曲線移動,功顯然無法直接按照式(1)計算
• 這里可以采用微積分的方法來合理的應用公式(1)于更一般的情形

弧段微分

• 先用曲線弧上的點$M_1(x_1,y_1)$,$M_2(x_2,y_2)$,$?$,$M_{n?1}(x_{n?1},y_{n?1})$(2)把$L$分成$n$個小弧段

• 取其中一個有向小弧段$a(M_{i?1}{M}_i)$做分析

  • 由于$a(M_{i?1}{M}_i)$光滑且很短,可以用有向線段$\overrightarrow{M_{i?1}{M}_i}$=$(\Delta x_i)\mathbf{i}+(\Delta y_i)\mathbf{j}$(3)近似代替
  • 其中$\Delta x_i$=$x_i?x_{i?1}$,$\Delta y_i$=$y_i?y_{i?1}$(3-1)

• 由于$P(x,y)$,$Q(x,y)$在$L$上連續,可以用$a(M_{i?1}{M}_i)$上任意曲定的一點$({\xi }_i,{\eta }_i)$處的力$\mathbf{F}({\xi }_i,{\eta }_i)$=$P({\xi }_i,{\eta }_i)\mathbf{i}+Q({\xi }_i,{\eta }_i)\mathbf{j}$(4)來近似代替這小弧段上各點處的力

• 這樣變力$\mathbf{F}(x,y)$沿著有向小弧段$a(M_{i?1}{M}_i)$所做的功$\Delta W_i$可以近似地等于恒力$\mathbf{F}({\xi }_i,{\eta }_i)$,沿著$\overrightarrow{M_{i?1},M_i}$所作的功:

  • $\Delta W_i\approx \mathbf{F}({\xi }_i,{\eta }_i)?\overrightarrow{M_{i?1}{M}_i}$(5),即$\Delta W_i\approx P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i+Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i$(5-1)

• 于是$W$=${\sum }_{i=1}^n\Delta W_i$ $\approx$ ${\sum }_{i=1}^n[P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i+Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i]$(6)

• 若用$\lambda$表示$n$個小弧段的最大長度,令$\lambda \to 0$取式(6)的極限,所得極限自然地被認為式變力$\mathbf{F}$沿有向曲線段所做的功:

  • $W$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^n[P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i+Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i]$(7)

• 這種和的極限在研究其他問題時也會遇到,將其抽象為第二類曲線積分

第二類曲線積分的定義

• 設$L$為$xOy$面內從點$A\to B$的一條有向光滑曲線弧;函數$P(x,y)$和$Q(x,y)$在$L$上有界

  • 和第一類曲線積分中曲線的無向性相比,第二類曲線積分的曲線$L$強調有向

• 在$L$上沿$L$的任意方向插入點列$M_1(x,y),?,M_{n?1}(x_{n?1},y_{n?1})$,把$L$分成了$n$個有向小弧段

  • $a(M_{i?1}{M}_i)$,$(i=1,2,?,n)$;$M_0=A,M_n=B$
  • 設$\Delta x_i$=$x_i?x_{i?1}$,$\Delta y_i$=$y_i?y_{i?1}$
  • 點$({\xi }_i,{\eta }_i)$為小弧段$a(M_{i?1}{M}_i)$上任意曲定的一點

• 作乘積$P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i$,$(i=1,2,?,n)$;(1)作和${\sum }_{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i$,(2)

• 若當各個小弧段長度的最大值$\lambda \to 0$時,式(2)的極限總是存在,且于曲線弧$L$的分法和$({\xi }_i,{\eta }_i)$的取法無關,則稱此極限為函數$P(x,y)$在有向曲線弧$L$上對坐標$x$的曲線積分,記為${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x$

• 類似地,若${\sum }_{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i$總是存在,且與曲線弧$L$的分法及點$({\xi }_i,{\eta }_i)$的取法無關,那么稱此極限為函數$Q(x,y)$在有向曲線弧$L$上對坐標$y$的曲線積分,記為${\int }_{L}Q(x,y)\mathrm{d}y$

• 綜上有公式組:

  • ${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i$(3)
  • ${\int }_{L}Q(x,y)\mathrm{d}x$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i$(4)

• 兩個積分稱為第二類曲線積分

• 其中$P(x,y)$,$Q(x,y)$稱為被積函數,$L$稱為積分弧段

函數在曲線弧上連續

• 討論第二類曲線積分時,總假定$P(x,y),Q(x,y)$在$L$上連續(第二類曲線積分總是存在)
• 函數$f(x,y)$在曲線$L$上連續,應當是$f(x,y)$在 D = { ( x , y ) ∣ ( x , y ) ∈ L } D=\set{(x,y)|(x,y)\in{L}} D={(x,y)∣(x,y)∈L}上處處連續
• 嚴格地說,向量值函數函數$\mathbf{F}(x,y)$在曲線$L$上連續是指:
  • 對$L$上任意點$M_0(x_0,y_0)$,當$L$上的動點$M(x,y)$沿$L$趨于$M_0$時,有$|\mathbf{F}(x,y)?\mathbf{F}(x_0,y_0)|\to 0$
  • 若$\mathbf{F}(x,y)$=$P(x,y)\mathbf{i}+Q(x,y)\mathbf{j}$,則$\mathbf{F}(x,y)$在$L$上連續等價于$P(x,y)$與$Q(x,y)$均在$L$上連續

推廣:空間曲線弧的第二類曲線積分

• 上述第二類曲線積分是在平面上定義的,可以類似地推廣到積分弧段為空間有向曲線弧$\Gamma$的情形:
  • ${\int }_{\Gamma }P(x,y,z)\mathrm{d}x$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta x_i$(5)
  • ${\int }_{\Gamma }Q(x,y,z)\mathrm{d}x$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}Q({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta y_i$(6)
  • ${\int }_{\Gamma }R(x,y,z)\mathrm{d}x$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}R({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta z_i$(7)

常用形式和簡寫

• 兩個二類曲線積分的和的形式:${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x$+${\int }_{L}Q(x,y)\mathrm{d}y$(8)可以簡寫為
  • ${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$(9)
    • 取消掉第二個積分號,而用一個積分號對兩個被積表達式做二類曲線積分
  • 或者寫成向量形式:${\int }_L\mathbf{F}(x,y)?\mathrm{d}\mathbf{r}$,(10)
    • 這里$\mathbf{F},\mathbf{r}$都是向量,$?$表示向量內積,不省略
    • 其中$\mathbf{F}(x,y)$=$P(x,y)\mathbf{i}+Q(x,y)\mathbf{j}$(10-1)為向量值函數
    • $\mathrm{d}\mathbf{r}$=$\mathrm{d}x\mathbf{i}+\mathrm{d}y\mathbf{j}$(10-2)
• 類似地,${\int }_{\Gamma }P(x,y,z)\mathrm{d}x$+${\int }_{\Gamma }Q(x,y,z)\mathrm{d}y$+${\int }_{\Gamma }R(x,y,z)\mathrm{d}z$可以簡寫成
  • ${\int }_{\Gamma }P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z$(11)
  • 或:${\int }_L\mathbf{A}(x,y,z)?\mathrm{d}\mathbf{r}$,
    • 其中$\mathbf{A}(x,y,z)$=$P(x,y,z)\mathbf{i}$+$Q(x,y,z)\mathbf{j}$+$R(x,y,z)\mathbf{k}$;
    • $\mathrm{d}\mathbf{r}$=$\mathrm{d}x\mathbf{i}+\mathrm{d}y\mathbf{j}+\mathrm{d}z\mathbf{k}$

利用第二類曲線積分表示變力做功

• 討論變力$\mathbf{F}$做功時,$\mathbf{F}$所做的功可以表示為式(8)或(9)或(10)

性質

• 線性性質:

  • 設$\alpha ,\beta$為常數,${\int }_L[\alpha F_1(x,y)+\beta F_2(x,y)]?\mathrm{d}\mathbf{r}$=$\alpha {\int }_L{\mathbf{F}}_1(x,y)?\mathrm{d}\mathbf{r}$+$\beta {\int }_L{\mathbf{F}}_2(x,y)?\mathrm{d}\mathbf{r}$(1)

• 可加性:

  • 若有向曲線弧$L$可分成兩段光滑的有向曲線弧$L_1,L_2$,則:${\int }_L\mathbf{F}(x,y)?\mathrm{d}\mathbf{r}$=${\int }_{L_1}\mathbf{F}(x,y)?\mathrm{d}\mathbf{r}$+${\int }_{L_2}\mathbf{F}(x,y)?\mathrm{d}\mathbf{r}$(2)

• 反向弧性質:

  • 設$L$是有向光滑弧,$L^{?}$是$L$反向曲線弧:${\int }_{L^{?}}\mathbf{F}(x,y)?\mathrm{d}\mathbf{r}$=$?{\int }_L\mathbf{F}(x,y)?\mathrm{d}\mathbf{r}$(3)

  • 證明:把$L$分成$n$小段,相應的$L^{?}$也分成$n$小段,對于每個小段弧,當曲線的方向改變時,有向弧在坐標上的投影,其絕對值不變,但是要改變符號,就得到(3)

  • 此性質表明,當積分弧段的方向改變時,對坐標的曲線積分要改變符號,因此對坐標的曲線積分要區分積分弧段的方向

  • 本性質是對坐標曲線積分特有的性質,對弧長的曲線積分不具有這類性質)

  • 相應的,對弧長的曲線積分也有獨占的性質(被積函數大小的性質 )

計算方法

• 第二類曲線積分仍然是轉化為定積分計算

• 設$P(x,y),Q(x,y)$在有向曲線弧$L$上有定義且連續,$L$的參數方程為

  • $x=?(t)$
  • $y=\psi (t)$

• 當參數$t$單調地從$\alpha \to \beta$時,點$M(x,y)$從$L$的起點$A$沿$L$運動到終點$B$,若$?(t),\psi (t)$在以$\alpha ,\beta$為端點的閉區間上具有一階連續導數,且${?}^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)\ne 0$(0)

• 則曲線積分${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$存在,且有公式${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$=${\int }_{\alpha }^{\beta }[P(?(t),\psi (t))]{?}^{\prime }(t)+Q[?(t),\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)]\mathrm{d}t$(1)

證明

• 推導過程應用微分中值定理和一致連續性,以及連續函數性質,連續函數積分存在

對坐標$x$

• 在$L$上取一列點:$A=M_0,M_1,?,M_n=B$
• 設它們對應于一列單調變化(遞增或遞減)的參數值$\alpha =t_0,t_1,?,t_n=\beta$(2)
• 根據對坐標的曲線積分的定義(對坐標$x$):${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i$(3)
• 設點$({\xi }_i,{\eta }_i)$對應于參數${\tau }_i$,即${\xi }_i=?({\tau }_i)$,${\eta }_i=\psi ({\tau }_i)$(4)這里${\tau }_i$在$t_{i?1},t_i$之間
• 由于$\Delta x_i=x_i?x_{i?1}$=$?(t_i)??(t_{i?1})$(5)應用微分中值定理,式,$\Delta x_i$=${?}^{\prime }({\tau }_i^{\prime })\Delta t_i$,${\tau }_i^{\prime }$(5-1)介于$t_{i?1},t_i$之間
• 將(4),(5-1)代入(3),于是式(3)可改寫為$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}P[?({\tau }_i),\psi ({\tau }_i)]{?}^{\prime }({\tau }_i^{\prime })\Delta t_i$(6)
• 因為函數${?}^{\prime }(t)$在區間$[\alpha ,\beta ]$或$[\beta ,\alpha ]$上連續,由一致連續性知識,可以把${\tau }_i^{\prime }$替換為${\tau }_i$,從而式(6)改寫為$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}P[?({\tau }_i),\psi ({\tau }_i)]{?}^{\prime }({\tau }_i)\Delta t_i$(7)
• 式(7)的和的極限就是定積分${\int }_{\alpha }^{\beta }P[?(t),\psi (t)]{?}^{\prime }(t)\mathrm{d}t$(8)
• 由連續條件和連續函數的性質,被積函數$P[?(t),\psi (t)]{?}^{\prime }(t)$連續,因此積分式(8)存在,所以${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x$存在,且${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x$=${\int }_{\alpha }^{\beta }P[?(t),\psi (t)]{?}^{\prime }(t)\mathrm{d}t$(9)

對坐標$y$

• 類似上述推導,可證${\int }_{L}Q(x,y)\mathrm{d}y$=${\int }_{\alpha }^{\beta }Q[?(t),\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$(10)

相加

• 將式(9,10)相加:${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$
  • =${\int }_{\alpha }^{\beta }P[?(t),\psi (t)]{?}^{\prime }(t)+Q[?(t),\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$
  • =${\int }_{\alpha }^{\beta }P[?(t),\psi (t)]{?}^{\prime }(t)\mathrm{d}t$+${\int }_{\alpha }^{\beta }Q[?(t),\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$,(11)
• 這就證明了公式(1)

積分限和曲線弧起止點

• 式(11)中,積分下限$\alpha$對應于$L$的起點,上限$\beta$對應于$L$的終點

公式的應用

• 公式(1)或(11)表明,計算曲線積分${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$時,只需要將$x,y,\mathrm{d}x,\mathrm{d}y$依次替換為$?(t),\psi (t),{?}^{\prime }(t)\mathrm{d}t,{\psi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$
• 在處理有向弧$L$對應的參數:
  • 從$L$的**起點所對應的參數值$\alpha$到$L$的終點所對應的參數值$\beta$**做定積分即可
  • 這里$\alpha ,\beta$大小關系無限制,$\alpha$不一定小于$\beta$,這和第一類曲線積分不同

公式的其他形式

• 若$L$有方程$y=\psi (x)$或$x=?(y)$給出,可以看作參數方程的特例
• 例如:當$L$有$y=?(x)$,$x\in [a,b]$給出時(可以視為$x=t,y=?(t)$或直接$x=x,y=?(x)$,參數為$x$,公式(1)改寫為${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$=${\int }_a^{b}P[x,\psi (x)]+Q[x,\psi (x)]{\psi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x$(12)
  • $a,b$分別對應$L$的起點和終點

推廣

• 公式(1)可以推廣到空間曲線$\Gamma$由參數方程$x=?(t)$,$y=\psi (t)$,$z=\omega (t)$給出的情形

• 此時${\int }_{\Gamma }P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z$=${\int }_{\alpha }^{\beta }P[?(t),\psi (t),\omega (t)]{?}^{\prime }(t)+Q[?(t),\psi (t),\omega (t)]{\psi }^{\prime }(t)+R[?(t),\psi (t),\omega (t)]{\omega }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$

• $\alpha ,\beta$分別對應$\Gamma$的起點和終點