在uplift建模中，模型離線指標(QINI、AUUC)提升并不意味著在線A/B實驗的收益，因為在線運籌還需要$\lambda$約束。如果模型打分不滿足單調增且roi邊際遞減，那么$\lambda$運籌求解會非常不穩定，導致線上發券偏高，毛利無法兜住。

下面用 兩個數值化示例 直觀對比：

示例 1：$p_i$ 單調增但不滿足邊際遞減 ? $\lambda$ 搜索不穩定

• 樣本數：5

• 成本：全部 $c_i=1$

• 預算：$B=3$

• 打分 $p_i$（嚴格單調增，但 $\Delta p_i$ = $p_i?p_{i?1}$ 不遞減／有重復）：

i	1	2	3	4	5
$p_i$	0.10	0.20	0.40	0.40	0.50
$\Delta p_i$	—	0.10	0.20	0.00	0.10

• 閾值集 {pi/ci}={0.10,0.20,0.40,0.40,0.50}\{p_i/c_i\}=\{0.10,0.20,0.40,0.40,0.50\}{pi?/ci?}={0.10,0.20,0.40,0.40,0.50}。

• 當 $\lambda$ 越過 0.40 時，會同時將樣本 3、4 都剔除，令選中數 $C(\lambda )$ 從 3 直接跳到 1，形成大階梯。

C(λ)=#{i:pi>λ}={5,λ<0.10;3,0.10≤λ<0.20;3,0.20≤λ<0.40;1,0.40≤λ<0.50;0,λ≥0.50. C(\lambda)=\#\{i: p_i>\lambda\} \quad=\begin{cases} 5,&\lambda<0.10;\\ 3,&0.10\le\lambda<0.20;\\ 3,&0.20\le\lambda<0.40;\\ 1,&0.40\le\lambda<0.50;\\ 0,&\lambda\ge0.50. \end{cases} C(λ)=#{i:pi?>λ}=????5,3,3,1,0,?λ<0.10;0.10≤λ<0.20;0.20≤λ<0.40;0.40≤λ<0.50;λ≥0.50.?

二分搜索行為：

• 在 $[0.20,0.40)$ 內，任意 mid 都命中 $C=3$，算法只能不斷逼近 0.40，永遠無法見到$C<3$的分支判定，也就卡在邊界來回，無法穩定收斂到唯一解。

示例 2：$p_i$ 單調增且滿足邊際遞減 ? $\lambda$ 搜索穩定

• 樣本數：5

• 成本：全部 $c_i=1$

• 預算：$B=3$

• 打分 $p_i$（嚴格單調增 且 $\Delta p_i$ 遞減）：

$i$	1	2	3	4	5
$p_i$	0.10	0.18	0.24	0.28	0.30
$\Delta p_i$	—	0.08	0.06	0.04	0.02

• 閾值集 {0.10,0.18,0.24,0.28,0.30}\{0.10,0.18,0.24,0.28,0.30\}{0.10,0.18,0.24,0.28,0.30}，且每次跨過一個閾值，只會剔除一個樣本。

C(λ)=#{i:pi>λ}={5,λ<0.10;4,0.10≤λ<0.18;3,0.18≤λ<0.24;2,0.24≤λ<0.28;1,0.28≤λ<0.30;0,λ≥0.30. C(\lambda)=\#\{i: p_i>\lambda\} \quad=\begin{cases} 5,&\lambda<0.10;\\ 4,&0.10\le\lambda<0.18;\\ 3,&0.18\le\lambda<0.24;\\ 2,&0.24\le\lambda<0.28;\\ 1,&0.28\le\lambda<0.30;\\ 0,&\lambda\ge0.30. \end{cases} C(λ)=#{i:pi?>λ}=????5,4,3,2,1,0,?λ<0.10;0.10≤λ<0.18;0.18≤λ<0.24;0.24≤λ<0.28;0.28≤λ<0.30;λ≥0.30.?

二分搜索行為：

• 目標：$C(\lambda )=3$。

• 初始區間 $[0.10,0.30]$，mid=0.20 → $C(0.20)=3$ → 收縮右端 → $[0.10,0.20]$。
• mid=0.15 → $C=4>3$ → 收縮右端 → $[0.10,0.15]$。
• … 依次剔除第2號、第3號樣本，每次跨過一個閾值，$C$ 變化為 4→3→2…，二分能穩定地一步步逼近恰好使 $C=3$ 的 $\lambda$。

核心對比

條件	階梯跳變	二分穩定性
示例1：邊際不遞減或重復值	大階梯（一次掉多個）	卡在大跳點來回
示例2：邊際嚴格遞減	小階梯（一次掉一個）	逐次逼近，穩定收斂

• 只有當每次 $\lambda$ 觸碰一個閾值，就只影響一個樣本時，累積成本 $C(\lambda )$ 曲線才近似“單調平滑”，二分才能一步步穩定逼近目標預算。
• 如果一次跨越多個閾值（示例1），或閾值間距極小/重復（前例），則會出現“跳變過大”或“可行區間過窄”，導致二分收斂失靈或來回擺動。