線性代數被廣泛應用于抽象代數和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數能被具體表示，線性代數被泛化為算子理論。而非線性模型被近似為線性模型，應用場景多為自然科學和社會科學。
費馬和笛卡爾的工作，線性代數出現于十七世紀直到十八世紀末，線性代數局限在平面和空間；十九世紀上半葉完成了到m維向量空間的過度，矩陣論始于凱萊。在十九世紀下半葉若當的工作達到了頂點。而在1888年皮亞諾以公理的方式定義了有限維或無限維向量空間。
托普利茨將線代的主要定理推廣到任意體上的最一般的向量空間中。該概念在多數情況下擺脫矩陣計算引導到固有的推理，即是說不依賴于基的選擇，不用交換而未必交換之體或環作為算子之定義域，引向模的概念。顯著推廣了向量空間的理論和重新整理了十九世紀研究過的情況。
線性代數已經擴展到研究任意或無限維空間。一個維數為n的向量稱為n維空間。在二維和三維空間大多數有用的結論可以擴展到高維，

1. 基本概念

線性代數