---

在科學計算與信號處理等領域，經常需要根據已知余弦值反向求角度——這時就用到 NumPy 提供的 np.arccos（反余弦）函數。下面從函數簽名、數學定義、使用示例、注意事項和典型應用等方面，幫你系統地理解并掌握 np.arccos。

---

一、函數簽名與核心參數

numpy.arccos(x, /, out=None, *, where=True, casting='same_kind', order='K', dtype=None, subok=True)

• x：輸入標量或數組（array_like），其元素應在 $[?1,1]$ 范圍內。
• out：可選，提供一個同形狀的數組用來就地存放結果。
• 其余參數用于高級廣播、類型轉換和性能調優，一般無需修改。

返回值是一個與 x 同形狀的 ndarray，元素值就是對應輸入的反余弦角度（單位：弧度）。

---

二、數學定義與取值范圍

• 定義

  $$\arccos (x)=\theta ,\text{s.t.}\cos (\theta )=x,0\le \theta \le \pi .$$

• 定義域：輸入 $x$ 必須在 $[?1,1]$ 之內，否則輸出 nan 并伴隨警告。

• 值域：返回角度 $\theta \in [0,\pi ]$，即 $[0,180^{°}]$。

---

三、基礎使用示例

import numpy as np# 標量運算
print(np.arccos(1.0))    # 0.0 (0°)
print(np.arccos(0.0))    # ≈1.5708 (90°)
print(np.arccos(-1.0))   # ≈3.1416 (180°)# 數組運算
arr = np.array([1.0, 0.5, 0.0, -0.5, -1.0])
res = np.arccos(arr)
print(res)
# [0.         1.04719755 1.57079633 2.0943951  3.14159265]
# 其中 1.04719755≈60°，2.0943951≈120°

---

四、與 Python 內建 math.acos 的對比

	math.acos(x)	np.arccos(x)
支持類型	單個浮點數	標量或任意維度數組
返回類型	Python float	NumPy ndarray
性能	單次調用	向量化批量運算，性能更高
廣播與 out	不支持	支持廣播、就地存儲（out）

---

五、常見問題與注意事項

1. 超出 $[?1,1]$

   x = np.array([1.2, -1.5])
   theta = np.arccos(x)
   # 會得到 [nan, nan] 并出現 RuntimeWarning
   

   可先用 np.clip(x, -1, 1) 將數值截斷再計算，避免 nan。

2. 數據類型

   • 輸入整數數組會被自動轉換為浮點運算。
   • 輸出默認 float64，可用 out= 或在后續處理中轉換類型。

3. 單位轉換
   如果需要度為單位，可再乘以 180/np.pi：

   deg = np.arccos(arr) * 180 / np.pi
   

---

六、典型應用場景

1. 三維向量夾角計算

import numpy as npu = np.array([1, 0, 0])
v = np.array([1, 1, 0]) / np.sqrt(2)
dot = np.dot(u, v)          # 0.707...
angle = np.arccos(dot)      # ≈0.785 rad (45°)
print(angle, angle*180/np.pi)

2. 信號處理與相位差

對于頻域信號 $X(f)$ 的實部和虛部，可計算相位：

phase = np.arccos(real_part / np.abs(X))

3. 幾何繪圖

結合 matplotlib 或 mayavi，可繪制極坐標或 3D 曲面：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plttheta = np.linspace(0, np.pi, 100)
y = np.cos(theta)
plt.plot(theta, y)
plt.xlabel('θ (rad)')
plt.ylabel('cos θ')
plt.title('Cosine Curve and Inverse Cosine Points')
plt.scatter(np.arccos(y), y)
plt.show()

---

七、小結

• 功能：批量對輸入數組執行反余弦運算，輸出弧度制角度。
• 優勢：向量化、支持廣播與就地寫入；性能遠勝逐元素 Python 循環。
• 注意：保持輸入 $[?1,1]$ 范圍，避免產生 nan，并留意返回類型。

掌握 np.arccos，你就能在三維幾何、相位分析、圖像處理等多領域，高效地完成反余弦計算。歡迎在評論區分享你的實踐案例和問題！