題目

問題 6. 一個球形波是三維波動方程的解，形式為 $$u(r,t)$$，其中 $$r$$ 是到原點的距離（球坐標）。波動方程的形式為：

$$u_{tt}=c^2\left(u_{rr}+\frac{2}{r}{u}_r\right)\text{(球形波方程)}.$$ (2.C.8)

(a) 通過變量替換 $$v=ru$$ 得到 $$v$$ 的方程： $$v_{tt}=c^2{v}_{rr}$$.

(b) 使用

$$v=f(r+ct)+g(r?ct)$$ (2.C.9)

求解 $$v$$，從而求解球形波方程。

? 使用

$$v(r,t)=\frac{1}{2}\left[?(r+ct)+?(r?ct)\right]+\frac{1}{2c}{\int }_{r?ct}^{r+ct}\psi (s)ds$$ (2.C.10)

其中 $$?(r)=v(r,0)$$, $$\psi (r)=v_t(r,0)$$ 來求解具有初始條件 $$u(r,0)=\Phi (r)$$, $$u_t(r,0)=\Psi (r)$$ 的方程。（注：題目中 “ψ?=v+t(r,0)” 和 “u+t(r,0)” 為筆誤，應為 $$v_t(r,0)$$ 和 $$u_t(r,0)$$。）

(d) 找到滿足 (2.C.8) 的解 $$u$$ 的一般形式，該解在 $$r=0$$ 處連續。

問題 14. 推廣問題 6：一個球形波是 $$n$$ 維波動方程的解，形式為 $$u(r,t)$$，其中 $$r$$ 是到原點的距離（球坐標）。波動方程的形式為：

$$u_{tt}=c^2\left(u_{rr}+\frac{n?1}{r}{u}_r\right)\text{(球形波方程)}.$$ (2.C.26)

(a) 證明如果 $$u$$ 滿足 (2.C.26)，則 $$r^{?1}{?}_{r}u(r,t)$$ 也滿足 (2.C.26)，但 $$n$$ 被替換為 $$n+2$$.

(b) 使用這個和問題 6，寫出奇數 $$n$$ 的球形波。

? 描述 $$n=1$$ 時的球形波。

備注 2.C.4. 對于偶數 $$n$$，球形波不存在。

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解決圖片中的題目

以下是針對問題 6 和問題 14 的完整解答。解答步驟詳細，包括推導和解釋。

問題 6 解答

(a) 通過變量替換 $$v=ru$$ 得到 $$v$$ 的方程： $$v_{tt}=c^2{v}_{rr}$$

給定球形波方程：
$$u_{tt}=c^2\left(u_{rr}+\frac{2}{r}{u}_r\right)$$

設 $$v=ru$$，則 $$u=\frac{v}{r}$$.

計算偏導數：

• $$u_t=\frac{?}{?t}\left(\frac{v}{r}\right)=\frac{1}{r}{v}_t$$（因為 $$r$$ 與 $$t$$ 無關），
• $$u_{tt}=\frac{{?}^2}{?t^2}\left(\frac{v}{r}\right)=\frac{1}{r}{v}_{tt}$$.

計算 $$u_r$$ 和 $$u_{rr}$$:

• $$u_r=\frac{?}{?r}\left(\frac{v}{r}\right)=\frac{1}{r}{v}_r?\frac{1}{r^2}v$$,
• $$u_{rr}=\frac{?}{?r}\left(\frac{1}{r}{v}_r?\frac{1}{r^2}v\right)=?\frac{1}{r^2}{v}_r+\frac{1}{r}{v}_{rr}+\frac{2}{r^3}v?\frac{1}{r^2}{v}_r=\frac{1}{r}{v}_{rr}?\frac{2}{r^2}{v}_r+\frac{2}{r^3}v$$.

代入方程右邊：
u r r + 2 r u r = ( 1 r v r r ? 2 r 2 v r + 2 r 3 v ) + 2 r ( 1 r v r ? 1 r 2 v ) = 1 r v r r ? 2 r 2 v r + 2 r 3 v + 2 r 2 v r ?