材料力學押題

第一題

Q

求力作用的銷釘位置的豎直偏移距離。

S

方法一:能量方法

材料應變能計算為:
$$U=\int \frac{{\text{內力}}^2}{2\times 剛度}\text{d}A$$
克拉珀龍原理：
$$U=\sum _i\frac{1}{2}{F}_i{\delta }_i$$
一方面：
$$\frac{1}{2}F\Delta =U$$
另一方面有卡氏定理：
$$F_i=\frac{?U}{?x_i}$$
$$x_i=\frac{?U}{?F_i}$$

對銷釘進行受力分析：

$$\begin{array}{rl}?F_{N_1}\cos \alpha ?F_{N_2}\cos \beta & =F\\ F_{N_1}\sin \alpha =F_{N_2}\sin & \beta \end{array}$$

可以求得：

$$\begin{array}{rl}{F}_{N_1}& =?\frac{F}{\sin \alpha \cot \beta +\cos \alpha }=k_{1}F\\ F_{N_2}& =?\frac{F}{\sin \beta \cot \alpha +\cos \beta }=k_{2}F\end{array}$$

系統存儲的應變能：

$$U=\sum _i\frac{F_{N_i}^2{l}_i}{2E{A}_i}=\frac{F^2}{2E}\sum _i\frac{(k_i{l}_i{)}^2}{A_i}$$

由卡氏定理：

$$\delta =\frac{?U}{?F}=\frac{F}{E}\sum _i\frac{k_i{l}_i}{A_i}$$

其中：
$$k_1=?\frac{1}{\sin \alpha \cot \beta +\cos \alpha }$$
$$k_2=?\frac{1}{\sin \beta \cot \alpha +\cos \beta }$$

方法二：幾何關系求解

我們得到一組幾何方程：

$$\begin{array}{rl}\frac{x_2}{x_3}& =\frac{\tan \alpha }{\tan \beta }\\ \cos \alpha \sum x_i& ={\Delta }_1\\ \cos \beta x_1& ={\Delta }_2\end{array}$$

第二題

對于扭轉問題，一般的處理過程是什么?

Step：1
繪制扭矩圖:$T(x)$

Step：2

確定截面幾何參數:
$$I_p={\int }_A{\rho }^2\text{d}A$$
KaTeX parse error: Got function '\max' with no arguments as subscript at position 21: …frac{I_p}{\rho_\?m?a?x?}
Step: 3
確定危險點切應力，校核強度：
$$\tau =\frac{T\rho }{I_p}$$
Step: 4
確定相對轉角，校核剛度：
$$\text{d}\phi =\frac{T}{G{I}_p}\text{d}x$$

Q

懸臂梁的截面為空心圓軸，受到均布扭轉力偶矩矢作用，求端面的相對轉角。

S
$$T(x)=?m(l?x)$$
$$\phi =\int \frac{?m(l?x)}{G\frac{D^4(1?{\alpha }^4)}{32}}\text{d}x$$

組合變形

組合變形的難點是在選取危險點，需要找到危險點，危險點一般需要綜合考慮應力狀態：

1. 只有圓軸的切應力是線性分布的，對于薄壁切應力分布均于邊緣相切，然后近似均勻分布。

2. 拉（壓）- 彎 - 扭組合、彎 - 扭組合一般是二向應力狀態。

3. 可以結合廣義胡克定律計算變形。

彎曲變形

載荷集度、剪力與彎矩之間的關系：

$$q(x)=\frac{\text{d}{F}_s(x)}{\text{d}x}$$

$$F_s(x)=\frac{\text{d}M(x)}{\text{d}x}$$

1. 無載荷作用，剪力變化率為$0$，即剪力圖為水平直線，彎矩圖為直線，剪力為正則彎矩圖為傾斜向上的直線，反之為傾斜向下的直線；

2. 有均布載荷作用，剪力變化率不變，即剪力圖為有斜率的直線，當剪力有變號零點時，剪力圖出現極值點，反之保持凹凸性不變的無極值點的二次函數圖像；

3. 集中力作用，導致剪力突變，突變量與集中力大小相等，方向相同，彎矩圖出現"尖點"；

4. 集中力偶作用，導致彎矩突變，突變量與集中力偶大小相等，方向相同。

5. 彎矩的極值通常發生在剪力為零的點，或集中力作用且兩側剪力變號的點。

對稱載荷的剪力圖反對稱，彎矩圖正對稱

定義奇異函數為：

$${?x?a?}^n=\{\begin{array}{ll}0& ,x<a\\ (x?a{)}^n& ,x>a\end{array}$$

$${?x?a?}^n=\{\begin{array}{ll}0& ,x<a\\ (x?a{)}^n=\frac{1}{(n+1)!}\frac{\text{d}(x?a{)}^{n+1}}{\text{d}x}& ,x>a\end{array}$$

微積分關系滿足如下關系：
$$\frac{\text{d}(x?a{)}^{n+1}}{\text{d}x}=(n+1)!{?x?a?}^n$$

Q

$x=y=z=a$,求解撓曲線近似微分方程。

S

彎矩方程為：
$$M(x)=\frac{5qa}{6}x?q{a}^2{?x?a?}^0?qa{?x?a?}^1?\frac{q}{2}{?x?a?}^2$$
有撓曲線近似微分方程：
$$EI{w}^{\prime \prime }=\frac{5qa}{6}x?q{a}^2{?x?a?}^0?qa{?x?2a?}^1?\frac{q}{2}{?x?2a?}^2$$
得到：
$$EIw=\frac{5qa}{36}{x}^3?\frac{1}{2}q{a}^2{?x?2a?}^2?\frac{1}{6}qa{?x?2a?}^3?\frac{q}{24}{?x?2a?}^4+Cx+D$$

代入邊界條件：
$$w{|}_{x=0}=w{|}_{x=3a}=0$$
得到：
$$D=0，C=?\frac{37}{72}q{a}^3$$

摩爾積分計算某截面撓度,轉角。
$$\delta ={\int }_l\frac{M(x)\overline{M}(x)}{EI}\text{d}x$$
$$\theta ={\int }_l\frac{M(x)\overline{M}(x)}{EI}\text{d}x$$