第19題第3問: $b$ 使得存在 $t$, 對于任意的 $x$, $5\cos x?\cos (5x+t)<b$, 求 $b$ 的最小值.

解:

$b$ 的最小值 $b_{min}={\min }_t{\max }_{x}g(x,t)$, 其中 $g(x,t)=5\cos x?\cos (5x+t)$.

下面先求解 ${\max }_{x}g(x,t)$.

構造關于變元 $x$ 的輔助函數 $h(x)=g(x,t)$.

則 ${\max }_{x}g(x,t)={\max }_{x}h(x)$.

$h^{\prime }(x)=?5\sin x+5\sin (5x+t)$.

求解以下方程得到極值點:

$2k\pi +x=5x+t$, $k\in \mathbb{Z}$.

$x=\frac{2k\pi ?t}{4}$.

$(2k+1)\pi ?x=5x+t$.

$x=\frac{(2k+1)\pi ?t}{6}$.

顯然 $h(x)$ 的圖像以 $2\pi$ 為周期, 且滿足性質 $h(x)=?h(x+\pi )$, 所以它的每個極大值的相反數必然是極小值, 反之亦然. 對負的極值取相反數就得到一個正的極值. 由此得到:

max ? x h ( x ) = max ? { max ? k ∣ 5 cos ? ( k π 2 ? t 4 ) ? cos ? ( 5 k π 2 ? t 4 ) ∣ , max ? k ∣ 5 cos ? ( ( 2 k + 1 ) π 6 ? t 6 ) ? cos ? ( ( 10 k + 5 ) π 6 + t 6 ) ∣ } \max_{x} h(x)=\max \{\max_{k}|5 \cos (\frac{k\pi}{2}-\frac{t}{4}) - \cos (\frac{5k\pi}{2}-\frac{t}{4})|, \max_{k} |5 \cos (\frac{(2k+1)\pi}{6} - \frac{t}{6}) - \cos (\frac{(10k+5)\pi}{6}+\frac{t}{6})|\} maxx?h(x)=max{maxk?∣5cos(2kπ??4t?)?cos(25kπ??4t?)∣,maxk?∣5cos(6(2k+1)π??6t?)?cos(6(10k+5)π?+6t?)∣}

其中:

$5\cos (\frac{k\pi }{2}?\frac{t}{4})?\cos (\frac{5k\pi }{2}?\frac{t}{4})=4\cos (\frac{k\pi }{2}?\frac{t}{4})$,

$\cos (\frac{(10k+5)\pi }{6}+\frac{t}{6})=\cos (\frac{(?10k?5)\pi }{6}?\frac{t}{6})=?\cos (\frac{(?10k?5)\pi }{6}?\frac{t}{6}+(2k+1)\pi )=?\cos (\frac{(2k+1)\pi }{6}?\frac{t}{6})$.

$5\cos (\frac{(2k+1)\pi }{6}?\frac{t}{6})?\cos (\frac{(10k+5)\pi }{6}+\frac{t}{6})=6\cos (\frac{(2k+1)\pi }{6}?\frac{t}{6})$.

所以 max ? x g ( x , t ) = max ? x h ( x ) = max ? { max ? k ∣ 4 cos ? ( k π 2 ? t 4 ) ∣ , max ? k ∣ 6 cos ? ( ( 2 k + 1 ) π 6 ? t 6 ) ∣ } \max_{x}g(x,t)=\max_{x} h(x)=\max \{\max_{k}|4 \cos (\frac{k\pi}{2}-\frac{t}{4}) |, \max_{k} |6 \cos (\frac{(2k+1)\pi}{6} - \frac{t}{6})|\} maxx?g(x,t)=maxx?h(x)=max{maxk?∣4cos(2kπ??4t?)∣,maxk?∣6cos(6(2k+1)π??6t?)∣}.

下面求解: ${\max }_t{\max }_{x}g(x,t)$.

其中:

max ? k ∣ 6 cos ? ( ( 2 k + 1 ) π 6 ? t 6 ) ∣ = max ? k = ? 1 , 0 , 1 ∣ 6 cos ? ( ( 2 k + 1 ) π 6 ? t 6 ) ∣ = 6 max ? { ∣ cos ? ? π ? t 6 ∣ , ∣ cos ? π ? t 6 ∣ , ∣ cos ? 3 π ? t 6 ∣ } \max_{k} |6 \cos (\frac{(2k+1)\pi}{6} - \frac{t}{6})|=\max_{k=-1,0,1}|6 \cos (\frac{(2k+1)\pi}{6} - \frac{t}{6})|=6\max\{|\cos\frac{-\pi-t}{6}|, |\cos\frac{\pi-t}{6}|, |\cos\frac{3\pi-t}{6}|\} maxk?∣6cos(6(2k+1)π??6t?)∣=maxk=?1,0,1?∣6cos(6(2k+1)π??6t?)∣=6max{∣cos6?π?t?∣,∣cos6π?t?∣,∣cos63π?t?∣}.

構造關于變元 $x$ 的輔助函數 g ( x ) = max ? { ∣ cos ? ( x ? π 3 ) ∣ , ∣ cos ? x ∣ , ∣ cos ? ( x + π 3 ) ∣ } g(x)=\max\{|\cos (x-\frac{\pi}{3})|, |\cos x|, |\cos (x+\frac{\pi}{3})|\} g(x)=max{∣cos(x?3π?)∣,∣cosx∣,∣cos(x+3π?)∣}, 結合圖像可知 $g(x)\ge \frac{\sqrt{3}}{2}$, 當 $x=\frac{\pi }{6}$ 時等號成立.

所以 max ? { ∣ cos ? π ? t 6 ∣ , ∣ cos ? 3 π ? t 6 ∣ } ≤ 3 2 \max\{|\cos\frac{\pi-t}{6}|, |\cos\frac{3\pi-t}{6}|\} \leq \frac{\sqrt{3}}{2} max{∣cos6π?t?∣,∣cos63π?t?∣}≤23 ??, 當 $\frac{\pi ?t}{6}=\frac{\pi }{6}$, 即 $t=0$ 時等號成立.

$|4\cos (\frac{k\pi }{2}?\frac{t}{4})|\le 4<3\sqrt{3}$.

綜上, ${\max }_t{\max }_{x}g(x,t)=3\sqrt{3}$.