為什么 ∑ 1 u \sum \frac{1}{u} ∑u1?（即 ∑ 1 n \sum \frac{1}{n} ∑n1?，通常稱為調和級數）是發散的？
? 一、首先明確你問的是這個級數：
∑ n = 1 ∞ 1 n \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} n=1∑∞?n1?
這個級數叫作調和級數（Harmonic Series）。它的每一項都趨近于 0，但整個級數仍然發散！
? 二、調和級數發散的經典證明（對比法）
我們用一種簡單的分組對比法來說明：
∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 + 1 2 + ( 1 3 + 1 4 ) + ( 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ) + ? > 1 + 1 2 + 2 ? 1 4 + 4 ? 1 8 + ? = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ? = ∞ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} &= 1 + \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \right) + \cdots \\ &> 1 + \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{1}{8} + \cdots \\ &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots = \infty \end{aligned} n=1∑∞?n1??=1+21?+(31?+41?)+(51?+61?+71?+81?)+?>1+21?+2?41?+4?81?+?=1+21?+21?+21?+?=∞?
結論： 每一組的和都 ≥ 1 2 \frac{1}{2} 21?，不斷累加會趨于無窮大，所以發散。
? 三、常見誤區：項趨近于 0 不代表級數收斂！
很多同學會說：
“它的每一項 1 n → 0 \frac{1}{n} \to 0 n1?→0，為什么還會發散？”
?注意：
- 這是級數學習中的最大陷阱之一。
- 級數是否收斂，不僅看項是否趨近于0，還要看它“趨近于0得多快”。
- 像 1 n 2 \frac{1}{n^2} n21?、 1 n p ( p > 1 ) \frac{1}{n^p} (p > 1) np1?(p>1) 這樣下降快的，才可能收斂。
? 四、延伸： ∑ 1 n p \sum \frac{1}{n^p} ∑np1? 的收斂性
| 級數 | 是否收斂？ |
|---|---|
| ∑ 1 n \sum \frac{1}{n} ∑n1? | ? 發散 |
| ∑ 1 n 2 \sum \frac{1}{n^2} ∑n21? | ? 收斂（著名的 π 2 6 \frac{\pi^2}{6} 6π2?） |
| ∑ 1 n 1.0001 \sum \frac{1}{n^{1.0001}} ∑n1.00011? | ? 收斂 |
| ∑ 1 n 0.999 \sum \frac{1}{n^{0.999}} ∑n0.9991? | ? 發散 |
📌 總結：
若 ∑ 1 n p \sum \frac{1}{n^p} ∑np1?，當且僅當 p > 1 p > 1 p>1 時，才收斂。
? 五、應用在考試中：
| 題型 | 是否能快速判斷 |
|---|---|
| ∑ 1 n \sum \frac{1}{n} ∑n1? | ? 發散 |
| ∑ 1 n 2 \sum \frac{1}{n^2} ∑n21? | ? 收斂 |
| ∑ ( ? 1 ) n ? 1 n \sum (-1)^n \cdot \frac{1}{n} ∑(?1)n?n1? | ? 收斂，但條件收斂 |
| ∑ 1 n \sum \frac{1}{\sqrt{n}} ∑n?1? | ? 發散 |
? 六、總結
- ∑ 1 n \sum \frac{1}{n} ∑n1? 是調和級數，發散，這是基礎常識，要熟記。
- 每一項趨于0 ≠ 級數收斂，必須結合“下降速度”判斷。
- 在考試中，看到類似 1 n p \frac{1}{n^p} np1? 形態，第一反應就是看 p p p 是否大于1。
如你想了解它發散的積分法證明，或與交錯調和級數的對比，我也可以繼續講。是否繼續？
