一、問題背景

# 26名神經功能受損兒童接受了兩組（A組與B組）空間知覺測試，得分如下A組和B組數據。
# A組數據
x_A <- c(48, 36, 20, 29, 42, 42, 20, 42, 22, 41, 45, 14, 6, 0, 33, 28, 34, 4, 32, 24, 47, 41, 24, 26, 30, 41)# B組數據
x_B <- c(42, 33, 16, 39, 38, 36, 15, 33, 20, 43, 34, 22, 7, 15, 34, 29, 41, 13, 38, 25, 27, 41, 28, 14, 28, 40)

二、問題求解

問題一

• 給出A組與B組得分的皮爾遜相關系數的Bootstrap點估計、區間估計（95%置信區間）

Bootstrap估計皮爾遜相關系數及置信區間的步驟原理

1. 計算原始樣本的皮爾遜相關系數
   先對A組和B組的原始數據計算皮爾遜相關系數，作為點估計。

2. Bootstrap重抽樣
   設定Bootstrap重復次數B（如1000），每次從原始數據中有放回地隨機抽取n對（n為樣本容量）A組和B組數據，形成新的樣本對。

3. 每次重抽樣計算相關系數
   對每一次Bootstrap樣本，計算其皮爾遜相關系數，記錄下來，最終得到B個相關系數的Bootstrap分布。

4. 點估計與置信區間

   • 點估計：用原始樣本的皮爾遜相關系數。
   • 置信區間：對B個Bootstrap相關系數，取其2.5%和97.5%的分位數，作為95%置信區間的下限和上限。

5. 結果解釋
   通過Bootstrap方法，可以在不依賴正態分布假設的情況下，獲得相關系數的穩健置信區間。

   公式原理說明

皮爾遜相關系數公式：

設有兩組數據 $X=(x_1,x_2,...,x_n)$，$Y=(y_1,y_2,...,y_n)$，其皮爾遜相關系數計算公式為：
$$r=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i?\bar{x})(y_i?\bar{y})}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(x_i?\bar{x}{)}^2}\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(y_i?\bar{y}{)}^2}}$$
其中 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ 分別為 $X$ 和 $Y$ 的均值。

Bootstrap置信區間原理：

1. 從原始樣本 $(x_i,y_i)$ 有放回地抽取 $n$ 對，重復 $B$ 次，得到 $B$ 組Bootstrap樣本。
2. 每組Bootstrap樣本計算皮爾遜相關系數 $r_b^{?}$，$b=1,2,...,B$。
3. 置信區間為 $r^{?}$ 的第2.5百分位數和第97.5百分位數：
   $${\text{CI}}_{95\%}=\left[Q_{0.025}(r^{?}),Q_{0.975}(r^{?})\right]$$
   其中 $Q_p(r^{?})$ 表示 $r^{?}$ 的第 $p$ 分位數。

這種方法無需對原始數據分布做正態性假設，適用于樣本量較小或分布未知的情況。

set.seed(1234)
n <- length(x_A)
B <- 1000 # Bootstrap重復次數
boot_corr <- numeric(B)for (i in 1:B) {idx <- sample(1:n, n, replace = TRUE)boot_corr[i] <- cor(x_A[idx], x_B[idx], method = "pearson")
}# 點估計
corr_hat <- cor(x_A, x_B, method = "pearson")
# 置信區間
ci <- quantile(boot_corr, c(0.025, 0.975))cat("皮爾遜相關系數點估計:", round(corr_hat, 3), "\n")
cat("Bootstrap 95%置信區間: [", round(ci[1], 3), ",", round(ci[2], 3), "]\n")

皮爾遜相關系數點估計: 0.821 
Bootstrap 95%置信區間: [ 0.662 , 0.913 ]

問題二

• 以B組得分為因變量，A組得分為自變量，建立一元線性回歸模型：$B_i=b+a{A}_i+{?}_i(i=1,2,...,26)$,請給出a的Bootstrap點估計和假設檢驗

Bootstrap點估計與假設檢驗的具體操作步驟

1. 建立一元線性回歸模型
   用B組得分為因變量，A組得分為自變量，擬合模型 $B_i=b+a{A}_i+{?}_i$，得到回歸系數$a$的原始點估計。

2. Bootstrap重抽樣
   設定Bootstrap重復次數$B$（如1000），每次從原始數據中有放回地隨機抽取$n$對$(A_i,B_i)$，形成新的樣本對。

3. 每次重抽樣擬合回歸模型
   對每一次Bootstrap樣本，擬合一元線性回歸模型，記錄回歸系數$a_b^{?}$，最終得到$B$個$a^{?}$的Bootstrap分布。

4. 點估計與置信區間

   • 點估計：用原始樣本擬合得到的$a$。
   • 置信區間：對$B$個$a^{?}$，取其2.5%和97.5%的分位數，作為$a$的95%置信區間。

5. 假設檢驗（a=0）
   計算$a=0$在Bootstrap分布中的分位數，得到雙側$p$值：$p=2\times \min (\text{比例}(a^{?}\ge 0),\text{比例}(a^{?}\le 0))$。若$p$值較小，說明$a$顯著不為0。

6. 結果解釋
   通過Bootstrap方法，可以在不依賴正態分布假設的情況下，對回歸系數$a$進行穩健的點估計、區間估計和顯著性檢驗。

set.seed(1234)
n <- length(x_A)
B <- 1000
boot_a <- numeric(B)for (i in 1:B) {idx <- sample(1:n, n, replace = TRUE)fit <- lm(x_B[idx] ~ x_A[idx])boot_a[i] <- coef(fit)[2]
}# 點估計
fit_full <- lm(x_B ~ x_A)
a_hat <- coef(fit_full)[2]# 置信區間
ci_a <- quantile(boot_a, c(0.025, 0.975))# 假設檢驗（p值）：計算a=0在bootstrap分布中的分位數
p_value <- 2 * min(mean(boot_a >= 0), mean(boot_a <= 0))cat("回歸系數a的點估計:", round(a_hat, 3), "\n")
cat("Bootstrap 95%置信區間: [", round(ci_a[1], 3), ",", round(ci_a[2], 3), "]\n")
cat("a=0的雙側p值:", round(p_value, 4), "\n")

回歸系數a的點估計: 0.656 
Bootstrap 95%置信區間: [ 0.49 , 0.847 ]
a=0的雙側p值: 0