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前言

想象你走進一家數字化的披薩餐廳，這里用AI技術優化了點餐流程。讓我們通過這個生動場景來解釋向量數據庫的核心概念。

場景設定：披薩特征向量化

這家餐廳把每種披薩用3個特征表示（實際應用中可能有幾百維）：

• 咸度（0-10）
• 芝士量（0-10）
• 辣度（0-10）

現有3種披薩在"向量菜單"中：

披薩類型	向量表示
瑪格麗特	[3, 8, 1]
辣香腸	[7, 6, 5]
四季披薩	[5, 5, 2]

顧客到來：生成查詢向量

你說：“我想要一份比較咸、芝士多但不太辣的披薩”，AI將其轉換為查詢向量：
[7, 9, 2]

相似度計算實戰

1. 歐氏距離計算（值越小越相似）

數學定義

L2(x,y) = √Σ(x_i - y_i)2

計算與瑪格麗特披薩的距離：

√[(7-3)2 + (9-8)2 + (2-1)2] 
= √(16 + 1 + 1) 
= √18 ≈ 4.24

與辣香腸的距離：

√[(7-7)2 + (9-6)2 + (2-5)2]
= √(0 + 9 + 9)
= √18 ≈ 4.24

與四季披薩的距離：

√[(7-5)2 + (9-5)2 + (2-2)2]
= √(4 + 16 + 0)
= √20 ≈ 4.47

結果：瑪格麗特和辣香腸并列最近（4.24）

2. 余弦相似度計算（值越大越相似）

數學定義：

cos(x,y) = (x·y)/(||x||*||y||)

計算與瑪格麗特披薩的相似度：

分子：7*3 + 9*8 + 2*1 = 21 + 72 + 2 = 95
分母：√(72+92+22) * √(32+82+12) 
= √(49+81+4) * √(9+64+1)
= √134 * √74 ≈ 11.58 * 8.60 ≈ 99.6

相似度：95/99.6 ≈ 0.954
與辣香腸的相似度：

7*7 + 9*6 + 2*5 = 49 + 54 + 10 = 113
√134 * √(72+62+52) = 11.58 * √110 ≈ 11.58*10.49≈121.5
相似度：113/121.5 ≈ 0.930

與四季披薩的相似度：

7*5 + 9*5 + 2*2 = 35 + 45 + 4 = 84
√134 * √(52+52+22) = 11.58 * √54 ≈ 11.58*7.35≈85.1
相似度：84/85.1 ≈ 0.987

結果：四季披薩最相似（0.987）！

關鍵發現：度量選擇影響結果

1. 歐氏距離推薦：
   • 瑪格麗特（咸度3）和辣香腸（咸度7）
   • 雖然瑪格麗特咸度不符合要求，但芝士量接近
2. 余弦相似度推薦：
   • 四季披薩（咸度5）
   • 因為它的特征比例最接近查詢（咸:芝士:辣 ≈ 7:9:2 vs 5:5:2）

現實啟示

• 歐氏距離像"絕對匹配"：適合找特征值接近的產品
• 余弦相似度像"比例匹配"：適合找風味組合相似的菜品
• 向量數據庫就是這位聰明的服務員，能快速比較數百種披薩的特征

# 用代碼驗證我們的計算
import numpy as npmenu = {"Margherita": np.array([3, 8, 1]),"Pepperoni": np.array([7, 6, 5]),"Quattro": np.array([5, 5, 2])
}query = np.array([7, 9, 2])# 歐氏距離計算
print("歐氏距離：")
for name, vec in menu.items():dist = np.linalg.norm(query - vec)print(f"{name}: {dist:.2f}")# 余弦相似度計算
print("\n余弦相似度：")
for name, vec in menu.items():cosine = np.dot(query, vec) / (np.linalg.norm(query)*np.linalg.norm(vec))print(f"{name}: {cosine:.3f}")

輸出結果：

歐氏距離：
Margherita: 4.24
Pepperoni: 4.24
Quattro: 4.47余弦相似度：
Margherita: 0.954
Pepperoni: 0.930
Quattro: 0.987

結語

這個美味的例子展示了：不同的相似度度量會導致不同的推薦結果，實際應用中需要根據業務需求選擇合適的度量方式。向量數據庫的價值就在于它能高效處理這類比較操作，即使面對百萬級"菜單"也能快速響應。