2025年五一數學建模競賽 A題

問題一：推測支路 1 和支路 2 的車流量

1.1 問題描述

根據提供的主路歷史數據以及已知的支路車流量變化趨勢（支路1呈線性增長，支路2先線性增長后線性減少），推測這兩個支路在特定時間段（6:58 到 8:58）內的車流量函數。

1.2 思路分析

(1) 數據預處理：將時間點（如 6:58, 8:58）轉換為數值格式，便于計算。例如，可以轉換為從 6:58 開始的分鐘數。假設 6:58 為 $t=0$，則 8:58 為 t = 120分鐘。

(2) 支路 1 模型選擇： 由于其車流量呈線性增長趨勢，選用線性函數（一次多項式）進行擬合最為合適。模型形式為 $Q_1(t)=a_{1}t+b_1$。

(3) 支路 2 模型選擇：}該支路車流量先增后減，呈現分段線性特征。需要確定一個轉折點（峰值時間點）$t_{\text{peak}}$。模型形式為分段線性函數：
$$Q_2(t)=\{\begin{array}{ll}{a}_{21}t+b_{21}& 0\le t<t_{\text{peak}}\\ a_{22}t+b_{22}& t_{\text{peak}}\le t\le 120\end{array}$$
其中，$a_{21}>0$（增長段斜率），$a_{22}<0$（減少段斜率）。$t_{\text{peak}}$ 的值需要根據數據或問題描述中的隱含信息來確定（例如，可能是時間段的中點，或者數據呈現峰值的時刻）。
(4) 參數估計：利用提供的主路數據（假設可以分離或推斷出各支路的貢獻，或者有直接的支路歷史數據），使用最小二乘法擬合上述模型，確定參數 $a_1,b_1,a_{21},b_{21},a_{22},b_{22}$ 以及 $t_{\text{peak}}$。

1.3 數學模型

(1) 支路 1 車流量函數：
$$Q_1(t)=a_{1}t+b_1$$
其中 $t$ 是從起始時刻（6:58）開始計算的時間（例如，以分鐘為單位），$a_1$ 是增長率，$b_1$ 是初始時刻的車流量。

(2) 支路 2 車流量函數（分段線性）：
$$Q_2(t)=\{\begin{array}{ll}{a}_{21}t+b_{21}& 0\le t<t_{\text{peak}}\\ a_{22}t+b_{22}& t_{\text{peak}}\le t\le T_{\text{end}}\end{array}$$
其中 $t_{\text{peak}}$ 是流量達到峰值的時刻，$T_{\text{end}}$ 是觀測結束時刻對應的時間值（例如 120 分鐘）。$a_{21},b_{21}$ 是增長段的參數，$a_{22},b_{22}$ 是減少段的參數。通常需要保證函數在 $t_{\text{peak}}$ 處連續，即 $a_{21}{t}_{\text{peak}}+b_{21}=a_{22}{t}_{\text{peak}}+b_{22}$。

1.4 MATLAB 代碼

% 假設 time_minutes 是時間點向量 (單位: 分鐘, 0 到 120)
% 假設 flow_branch1 是支路1的歷史車流量數據向量
% 假設 flow_branch2 是支路2的歷史車流量數據向量
% 假設 t_peak_index 是數據中峰值點對應的索引% 支路1: 線性擬合
params_branch1 = polyfit(time_minutes, flow_branch1, 1); % 1表示線性 (一次多項式)
a1 = params_branch1(1);
b1 = params_branch1(2);
Q1_fit = polyval(params_branch1, time_minutes); % 計算擬合值fprintf('支路1模型: Q1(t) = %.4f * t + %.4f\n', a1, b1);% 支路2: 分段線性擬合
% 確定轉折點 t_peak (假設已知或通過數據找到)
% 例如，假設 t_peak 是第 k 個時間點 time_minutes(k)
t_peak_val = time_minutes(t_peak_index);% 第一段 (增長段) 擬合
time1 = time_minutes(1:t_peak_index);
flow1 = flow_branch2(1:t_peak_index);
params1_branch2 = polyfit(time1, flow1, 1);
a21 = params1_branch2(1);
b21 = params1_branch2(2);% 第二段 (減少段) 擬合
time2 = time_minutes(t_peak_index:end); % 注意包含轉折點
flow2 = flow_branch2(t_peak_index:end);
params2_branch2 = polyfit(time2, flow2, 1);
a22 = params2_branch2(1);
b22 = params2_branch2(2);fprintf('支路2模型 (增長段): Q2(t) = %.4f * t + %.4f (t < %.1f)\n', a21, b21, t_peak_val);
fprintf('支路2模型 (減少段): Q2(t) = %.4f * t + %.4f (t >= %.1f)\n', a22, b22, t_peak_val);% 計算支路2擬合值
Q2_fit = zeros(size(time_minutes));
Q2_fit(1:t_peak_index-1) = polyval(params1_branch2, time_minutes(1:t_peak_index-1));
Q2_fit(t_peak_index:end) = polyval(params2_branch2, time_minutes(t_peak_index:end));% 可選：繪制擬合結果
figure;
subplot(2,1,1); plot(time_minutes, flow_branch1, 'o', time_minutes, Q1_fit, '-'); title('支路1 車流量'); xlabel('時間 (分鐘)'); ylabel('車流量'); legend('數據', '擬合');
subplot(2,1,2); plot(time_minutes, flow_branch2, 'o', time_minutes, Q2_fit, '-'); title('支路2 車流量'); xlabel('時間 (分鐘)'); ylabel('車流量'); legend('數據', '擬合');

1.5 Python 示例代碼

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 假設 time_minutes 是時間點數組 (單位: 分鐘, 0 到 120)
# 假設 flow_branch1 是支路1的歷史車流量數據數組
# 假設 flow_branch2 是支路2的歷史車流量數據數組
# 假設 t_peak_index 是數據中峰值點對應的索引# 支路1: 線性擬合
params_branch1 = np.polyfit(time_minutes, flow_branch1, 1) # 1表示線性
a1, b1 = params_branch1
Q1_fit = np.polyval(params_branch1, time_minutes) # 計算擬合值print(f'支路1模型: Q1(t) = {a1:.4f} * t + {b1:.4f}')# 支路2: 分段線性擬合
# 確定轉折點 t_peak
t_peak_val = time_minutes[t_peak_index]# 第一段 (增長段) 擬合
time1 = time_minutes[:t_peak_index]
flow1 = flow_branch2[:t_peak_index]
params1_branch2 = np.polyfit(time1, flow1, 1)
a21, b21 = params1_branch2# 第二段 (減少段) 擬合
time2 = time_minutes[t_peak_index:] # 注意包含轉折點
flow2 = flow_branch2[t_peak_index:]
params2_branch2 = np.polyfit(time2, flow2, 1)
a22, b22 = params2_branch2print(f'支路2模型 (增長段): Q2(t) = {a21:.4f} * t + {b21:.4f} (t < {t_peak_val:.1f})')
print(f'支路2模型 (減少段): Q2(t) = {a22:.4f} * t + {b22:.4f} (t >= {t_peak_val:.1f})')# 計算支路2擬合值
Q2_fit = np.zeros_like(time_minutes, dtype=float)
Q2_fit[:t_peak_index] = np.polyval(params1_branch2, time_minutes[:t_peak_index])
Q2_fit[t_peak_index:] = np.polyval(params2_branch2, time_minutes[t_peak_index:])# 可選：繪制擬合結果
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(time_minutes, flow_branch1, 'o', label='數據')
plt.plot(time_minutes, Q1_fit, '-', label='擬合')
plt.title('支路1 車流量')
plt.xlabel('時間 (分鐘)')
plt.ylabel('車流量')
plt.legend()
plt.grid(True)plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(time_minutes, flow_branch2, 'o', label='數據')
plt.plot(time_minutes, Q2_fit, '-', label='擬合')
plt.title('支路2 車流量')
plt.xlabel('時間 (分鐘)')
plt.ylabel('車流量')
plt.legend()
plt.grid(True)plt.tight_layout()
plt.show()

2 問題二：推測多支路 (支路 1, 2, 3, 4) 的車流量

2.1 問題描述

需要推測四個支路的車流量函數，這些支路具有不同的變化規律（如：穩定、線性增長、線性減少、周期性）。數據提供了主路車流量記錄（可能需要分解或假設已知各支路數據）。
知各支路數據）。

2.2 思路分析

(1) 確定各支路趨勢： 根據問題描述，為每個支路確定其變化模式。

• 支路 1 (穩定): 車流量近似為常數。
• 支路 2 (線性): 同問題 1 的支路 2，使用線性函數。
• 支路 3 (線性): 使用分段線性函數。
• 支路 4 (周期性): 車流量隨時間呈周期性波動，可能需要使用三角函數（如正弦、余弦）或傅里葉級數來建模。
  (2) 選擇合適的模型：
• 支路 1: $$Q_1(t)=C_1$$ (常數模型)
• 支路 2: $$Q_2(t)=a_{2}t+b_2(a_2>0)$$
• 支路 3: $$Q_3(t)=a_{3}t+b_3(a_3<0)$$
• 支路 4: $$Q_4(t)=A\sin (\omega t+?)+C_4$$ 或 $$Q_4(t)=A\cos (\omega t+?)+C_4$$其中 $A$ 是振幅，$\omega =\frac{2\pi }{T}$ 是角頻率（$T$ 是周期），$?$ 是相位，$C_4$ 是平均流量（垂直偏移）。如果周期性模式復雜，可能需要更高階的傅里葉項。

(3) 參數估計：對每個支路，使用對應的歷史數據和選定的模型，通過最小二乘法或其他擬合技術（如非線性最小二乘法對周期模型）估計模型參數。

2.3 數學模型

(1) 支路 1: $$Q_1(t)=C_1$$
(2) 支路 2: $$Q_2(t)=a_{2}t+b_2$$
(3) 支路 3: $$Q_3(t)=a_{3}t+b_3$$
(4) 支路 4 (正弦模型): $$Q_4(t)=A\sin \left(\frac{2\pi }{T}t+?\right)+C_4$$

3 問題三：考慮交通信號燈影響下的車流量推測

3.1 問題描述

在一個特殊路段，支路 3 的車流量受到周期為 18 個時間單位（假設是分鐘）的交通信號燈控制。需要推測支路 1、2、3 在此情況下的車流量。支路 1 和 2 的趨勢與之前類似（可能是線性或其他簡單模式）。

3.2 思路分析

(1) 支路 1 和 2：沿用之前的建模方法（例如線性模型 $at+b$）。

(2) 支路 3（信號燈控制）：車流量會呈現周期性，周期 $T=18$。在一個周期內，流量可能在綠燈時段為一個較高值（可能非恒定，有啟動和飽和過程），在紅燈時段為零或接近零。

(3) 建模支路 3：

• 方法一（簡化模型）：將周期內的行為理想化。例如，假設綠燈持續 $T_{\text{green}}$ 分鐘，紅燈 $T_{\text{red}}$ 分鐘（$T_{\text{green}}+T_{\text{red}}=18$）。模型可以是一個周期性方波函數，或者更平滑的周期函數。例如，可以擬合一個傅里葉級數，其基頻對應周期 18。
• 方法二（數據驅動）：計算每個數據點時間 $t$ 對應的周期內時間 $t_{\text{cycle}}=t(\text{mod}18)$。然后繪制 $Q_3$ vs $t_{\text{cycle}}$ 的散點圖，觀察一個周期內的流量模式。根據這個模式選擇合適的函數（可能是分段函數、平滑脈沖函數等）來擬合。
  (4) 參數估計：對支路 1 和 2 使用線性擬合。對支路 3，根據所選模型進行擬合。如果是傅里葉級數，確定需要的諧波次數；如果是自定義周期函數，擬合其參數。

3.3 數學模型

(1) 支路 1: $$Q_1(t)=a_{1}t+b_1$$ (或其他簡單模型)
(2) 支路 2: $$Q_2(t)=a_{2}t+b_2$$ (或其他簡單模型)
(3) 支路 3 (周期模型)：

• 傅里葉級數形式：$$Q_3(t)\approx C_0+\sum _{k=1}^N\left[A_k\cos \left(\frac{2\pi k}{T}t\right)+B_k\sin \left(\frac{2\pi k}{T}t\right)\right]$$，其中 $T=18$。
• 基于周期內時間 $t_{\text{cycle}}=t(\text{mod}18)$ 的函數：$$Q_3(t)=f(t(\text{mod}18))$$，函數 $f(x)$ 描述了在一個周期 $x\in [0,18)$ 內的流量變化模式，需要根據數據擬合。

4 問題四：推測數據誤差

4.1 問題描述

考慮到監測設備可能存在誤差，要求在有誤差的數據基礎上，推測“實際”的車流量。可能需要描述誤差的特性或修正數據。

4.2 思路分析

(1) 理解誤差：誤差可能是隨機的（噪聲），也可能是系統性的（偏差）。問題可能給出誤差范圍（如 ±5%）或類型（如高斯噪聲）。

(2) 誤差建模/處理：

• 隨機噪聲：如果假設誤差是零均值的隨機噪聲，那么之前通過擬合得到的平滑曲線（如 $Q_{\text{fit}}(t)$）可以被視為對“實際”車流量 $Q_{\text{true}}(t)$ 的估計。擬合過程本身就有平滑噪聲的作用。可以使用數據平滑技術（如移動平均、Savitzky-Golay 濾波器）預處理數據，然后再進行擬合。
• 系統偏差：如果存在已知的系統偏差（例如，設備總是多報 5%），則可以在得到擬合函數 $Q_{\text{fit}}(t)$ 后進行修正，例如 $Q_{\text{corrected}}(t)=Q_{\text{fit}}(t)/1.05$。
• 誤差范圍：如果只知道誤差范圍，可以給出實際流量的置信區間。例如，如果誤差是 ±δ，則實際流量可能在 $[Q_{\text{fit}}(t)?\delta ,Q_{\text{fit}}(t)+\delta ]$ 范圍內。
• 推測誤差特性：可以分析殘差 $e(t)=Q_{\text{measured}}(t)?Q_{\text{fit}}(t)$，檢查其分布、自相關性等，以推斷誤差的性質（是否隨機、是否有特定模式）。
  (3) 魯棒擬合：如果數據中存在少量異常值（可能是大的測量錯誤），可以使用魯棒擬合方法（Robust Fitting），這種方法對異常值的敏感度較低。

4.3 數學模型

(1) 觀測模型：$$Q_{\text{measured}}(t)=Q_{\text{true}}(t)+?(t)$$，其中 $?(t)$ 是誤差項。
(2) 目標：估計 $Q_{\text{true}}(t)$。
(3) 方法：通過擬合得到 ${\hat{Q}}_{\text{true}}(t)=Q_{\text{fit}}(t)$。
(4) 誤差分析：研究殘差 $e(t)=Q_{\text{measured}}(t)?Q_{\text{fit}}(t)$。例如，計算殘差的標準差 ${\sigma }_e$ 作為誤差大小的度量。
(5) 置信區間（假設誤差 $?～N(0,{\sigma }^2)$ 且 $\sigma$ 已知或估計）：$Q_{\text{true}}(t)$ 的 $(1?\alpha )$ 置信區間近似為 $Q_{\text{fit}}(t)\pm z_{\alpha /2}\times SE(Q_{\text{fit}}(t))$，其中 $SE$ 是擬合值的標準誤。

5 問題五：確定最少需要記錄的數據時刻

5.1 問題描述
為了能夠推測出完整的車流量函數（例如問題 1-3 中描述的那些），最少需要記錄哪些時刻的數據？

5.2 思路分析

(1) 模型復雜度決定：所需最少數據點數取決于要擬合的模型的自由度（參數個數）。一個有 $k$ 個參數的模型至少需要 $k$ 個獨立的數據點才能唯一確定參數（理論上）。為了獲得可靠的擬合和評估擬合優度，通常需要 $n>k$ 個點。
(2) 識別關鍵特征點：數據記錄的時刻應該能夠捕捉到函數的主要特征。

• 對于線性模型（$at+b,k=2$）：至少需要 2 個不同時刻的點。為了更好地確定直線，通常選擇時間段的開始和結束點，或者分布均勻的幾個點。

• 對于分段線性模型（如問題 1 支路 2，假設 2 段，每段 2 個參數，加轉折點位置，共 5 個參數；或轉折點已知，則 4 個參數）：需要覆蓋每一段，并能確定轉折點的位置。至少需要在轉折點附近以及每段的內部取點。例如，開始點、結束點、轉折點、每段中間點。

• 對于周期模型（如正弦 $A\sin (\omega t+?)+C,k=4$）：需要覆蓋至少一個完整周期，并能捕捉到峰值、谷值和過零點（或均值點）等特征。理論上 4 個點可能夠，但為了確定周期 $T$（或頻率 $\omega$）和相位 $?$，通常需要更多點，特別是在一個周期內分布均勻的點，以及跨越多個周期的點來確認周期性。奈奎斯特采樣定理指出，要無失真地恢復周期信號，采樣頻率至少是信號最高頻率的兩倍。

• 對于常數模型（$C,k=1$）：理論上 1 個點就夠，但為了確認穩定性，需要多個點。
  (3) 策略：

• 根據每個支路預期的函數形式，確定其模型參數個數 $k$。

• 選擇 $n\ge k$ 個能反映函數形態的關鍵時刻點。這些點應包括：時間段的起點和終點、預期的極值點（峰值、谷值）、趨勢改變點（如分段模型的轉折點）、周期性特征點（如正弦波的特定相位點）。

• 如果模型復雜或數據有噪聲，需要更多的點來保證擬合的穩定性和準確性。

5.3 數學模型（概念）

(1) 模型參數數量 $k$。
(2) 所需最少數據點數 $n_{\text{min}}=k$（理論下限）。
(3) 實際推薦點數 $n_{\text{rec}}>k$。
(4) 關鍵點選擇：$t_{\text{start}},t_{\text{end}},t_{\text{peak}},t_{\text{valley}},t_{\text{inflection}}$ 等。
(5) 對于周期 $T$ 的信號，采樣時間間隔 $\Delta t<T/2$（根據奈奎斯特頻率）。

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