一、BPR損失函數公式

BPR 損失函數的核心公式如下：

$$L_{\text{BPR}}=?\sum _{(u,i,j)\in D}\ln \sigma ({\hat{x}}_{uij})+\lambda ||\Theta |{|}^2$$

其中：

• $(u,i,j)$ 表示一個訓練三元組，含義是“用戶 $u$ 更偏好物品 $i$（正樣本）而非 $j$（負樣本）”。
• ${\hat{x}}_{uij}={\hat{x}}_{ui}?{\hat{x}}_{uj}$：預測評分差值，表示用戶 $u$ 對物品 $i$ 和 $j$ 的興趣差。
• ${\hat{x}}_{ui}$：模型預測的用戶 $u$ 對物品 $i$ 的偏好分數，常用點積 ${\mathbf{p}}_u^T{\mathbf{q}}_i$表示。
• $\sigma (?)$：sigmoid 函數，$\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{?x}}$。
• $\ln \sigma ({\hat{x}}_{uij})$：表示偏好差越大（即 $i$ 比$j$ 更受歡迎）的可能性越大。
• $\lambda ||\Theta |{|}^2$：正則項，防止過擬合，( \Theta ) 表示所有模型參數，如用戶/物品向量。

二、核心思想和直覺解釋

BPR 的目標是學習一個排序模型，讓用戶 $u$ 對正樣本 $i$的評分高于負樣本 $j$，即：

$${\hat{x}}_{ui}>{\hat{x}}_{uj}?{\hat{x}}_{uij}={\hat{x}}_{ui}?{\hat{x}}_{uj}>0$$

我們希望最大化這個事件的概率，也就是最大化：

$$P({\hat{x}}_{ui}>{\hat{x}}_{uj})=\sigma ({\hat{x}}_{ui}?{\hat{x}}_{uj})$$

這就變成了最大化一個排序概率的對數似然函數，也就是前面提到的 BPR 損失函數。

三、訓練樣本構造

由于是隱式反饋（如點擊/未點擊），我們無法獲得負樣本，只能從“未交互”中隨機采樣負樣本：

• 對每個用戶 $u$，正樣本 $i$ 是其交互過的物品。
• 隨機采樣一個用戶 $u$ 未交互的物品 $j$，作為負樣本。
• 構造訓練三元組 $(u,i,j)$。

四、梯度優化

對模型參數如 ${\mathbf{p}}_u,{\mathbf{q}}_i,{\mathbf{q}}_j$ 進行 SGD 梯度更新時，關鍵是：

$$\frac{?L_{\text{BPR}}}{?{\hat{x}}_{uij}}=?(1?\sigma ({\hat{x}}_{uij}))$$

這表達了“偏好差越大，梯度越小，更新越小”，符合排序目標。