在線性代數中，理解正交向量和正交向量至關重要，尤其是對于機器學習中的應用。這篇博文將簡化這些概念，而不會太深入地深入研究復雜的數學。

正交向量
如果兩個向量的點積等于零，則認為這兩個向量是正交的。但點積到底是什么呢？兩個 n 維向量 A 和 B 的點積（或標量積）可以表示如下：

A · B = ∑ (from i=1 to n) a_i * b_i

因此，如果滿足以下條件，向量 A 和 B 是正交的：

A · B = 0

例
考慮 3D 空間中的兩個向量：

（ v_1 = [1， -2， 4] ）
（ v_2 = [2， 5， 2] ）
為了檢查它們是否正交，我們計算它們的點積：

v_1 · v_2 = [1, -2, 4] · [2, 5, 2] = 1*2 + (-2)*5 + 4*2 = 0

由于結果為零，因此向量是正交的。

Python 代碼示例

下面是一個簡單的 Python 程序，它說明了正交向量：

# A python program to illustrate orthogonal vector# Import numpy module
import numpy# Taking two vectors
v1 = [[1, -2, 4]]
v2 = [[2, 5, 2]]# Transpose of v1
transposeOfV1 = numpy.transpose(v1)# Matrix multiplication of both vectors
result = numpy.dot(v2, transposeOfV1)
print("Result =", result)# Output
# Result = 0

單位向量
接下來，我們來討論一下單位向量。單位向量是通過向量除以其大小從向量中得出的。對于向量 （ A ），單位向量 （ \hat{a} ） 定義為：

\hat{a} = A / |A|

例
考慮 2D 空間中的向量 （ A ）：

（ A = [3， 4] ）
（ A ） 的大小計算如下：

因此，單位向量 （ \hat{a} ） 為：

\hat{a} = A / |A| = [3/5, 4/5]

單位向量的屬性
單位向量定義坐標系中的方向。
任何向量都可以表示為單位向量和標量大小的乘積。
正交向量
正交向量不僅是正交的，而且還具有單位大小。要將正交向量轉換為正交向量，只需將每個向量除以其大小即可。

對于我們之前研究的向量：

對于 （ v_1 = [1， -2， 4] ）：

v_1' = v_1 / |v_1| = [1, -2, 4] / √(12 + (-2)2 + 42)

對于 （ v_2 = [2， 5， 2] ）：

v_2' = v_2 / |v_2| = [2, 5, 2] / √(22 + 52 + 22)

通過將這些向量轉換為單位向量，它們保持正交并達到單位大小，從而形成正交向量。

注意
所有正交向量本質上都是正交的，由其屬性定義。