2024亞太杯中文賽數學建模B題word+PDF+代碼

2024年第十四屆亞太地區大學生數學建模競賽（中文賽項）B題洪水災害的數據分析與預測：建立指標相關性與多重共線性分析模型、洪水風險分層與預警評價模型、洪水發生概率的非線性預測優化模型，以及大規模樣本預測與分布特征分析模型

本文文章較長，建議先目錄。經過不懈的奮戰，目前我們已經完成了2024亞太杯中文賽B題的50+頁完整論文和代碼，文章較長，建議可以先看目錄，相關完整內容可見文末參考，

添加圖片注釋，不超過 140 字（可選）

摘要

本研究聚焦于洪水災害的多維數據分析與預測問題，基于大規模多源數據集，運用多元統計分析、機器學習及深度學習等先進方法，對洪水發生概率進行了全面的定量分析和預測建模。研究框架涵蓋四個主要模塊：指標相關性與多重共線性分析、洪水風險分層與預警評價模型構建、洪水發生概率的非線性預測模型優化，以及大規模樣本預測與分布特征分析。通過系統的建模與分析過程，本研究不僅構建了具有高精度和可解釋性的洪水預測模型，還深入揭示了影響洪水風險的關鍵因素及其交互作用機制，為制定精細化、差異化的防洪減災策略提供了堅實的理論基礎和決策支持。

添加圖片注釋，不超過 140 字（可選）

在問題一中，我們采用了多維度的統計學方法和機器學習算法來剖析20個指標與洪水發生概率之間的潛在關聯。主要應用的模型和算法包括皮爾遜相關系數、斯皮爾曼等級相關系數、互信息分析、基于隨機森林的特征重要性評估和主成分分析（PCA）。研究結果表明，（略，見完整版本）。PCA分析揭示，......

問題二中，我們構建了基于多級聚類的洪水風險分類體系和預警評價模型。主要采用的模型和方法包括K-means聚類算法、隨機森林分類器和基于模型的靈敏度分析。通過K-means算法，我們將洪水風險精確劃分為高、中、低三個等級。隨機森林分類器用于構建多指標綜合預警評價模型，模型的整體準確率達到（略，見完整版本）。靈敏度分析結果顯示，......

在問題三中，我們開發了基于集成學習的洪水發生概率非線性預測模型。我們對比分析了包括多元線性回歸、支持向量回歸、隨機森林、梯度提升樹（GBDT）和極限梯度提升（XGBoost）等在內的多種機器學習模型。經過嚴格的交叉驗證和參數優化，最終選擇的XGBoost模型在測試集上展現出了最優性能，決定系數R2值達到（略，見完整版本），均方誤差(MSE)僅為（略，見完整版本）。模型識別的Top 5重要特征依次為（略，見完整版本）。本部分的創新點在于通過系統的模型比較和集成學習方法，顯著提高了預測精度，同時保持了模型的可解釋性。引入的SHAP（SHapley Additive exPlanations）值分析進一步揭示了特征對預測結果的非線性影響和交互作用，為模型解釋提供了全新的理論視角。

問題四聚焦于大規模樣本預測和概率分布特征分析。我們將優化后的XGBoost模型應用于測試集（超過70萬條異構數據）進行了大規模預測。預測結果的算術平均值......。通過Shapiro-Wilk正態性檢驗（檢驗統計量為（略））和Q-Q圖定性分析，我們發現......。

本研究的主要優勢在于構建了一個多層次、多維度的綜合分析框架，提供了全面而深入的洪水風險評估體系。特別是在特征重要性量化、非線性關系建模和模型可解釋性方面，創新性地結合了傳統統計方法和前沿機器學習技術，顯著增強了結果的可靠性、穩定性和可解釋性。然而，研究也存在一些局限性，如預測模型在捕捉極端事件方面的能力有待進一步提升，且未充分考慮時空動態特征和長期趨勢。未來研究方向可以進一步整合時間序列分析、空間統計學和深度學習方法，提高模型對復雜場景和極端事件的預測能力，并探索將這一分析框架推廣到其他自然災害風險評估和應急管理領域，為構建韌性城市和可持續發展提供科學支撐。

關鍵詞：洪水風險預測、多維數據分析、機器學習、極限梯度提升(XGBoost)、風險分層評估、特征重要性量化、模型可解釋性

添加圖片注釋，不超過 140 字（可選）

問題重述

B題洪水災害的數據分析與預測洪水是暴雨、急劇融冰化雪、風暴潮等自然因素引起的江河湖泊水量迅速增加，或者水位迅猛上漲的一種自然現象，是自然災害。洪水又稱大水，是河流、海洋、湖泊等水體上漲超過一定水位，威脅有關地區的安全，甚至造成災害的水流。洪水一詞，在中國出自先秦《尚書·堯典》。從那時起，四千多年中有過很多次水災記載，歐洲最早的洪水記載也遠在公元前1450 年。在西亞的底格里斯－幼發拉底河以及非洲的尼羅河關于洪水的記載，則可追溯到公元前40 世紀。 2023 年6 月24 日8 時至25 日8 時，中國15 條河流發生超警洪水。2023 年，全球洪水等造成了數十億美元的經濟損失。

洪水的頻率和嚴重程度與人口增長趨勢相當一致。迅猛的人口增長，擴大耕地，圍湖造田，亂砍濫伐等人為破壞不斷地改變著地表狀態，改變了匯流條件，加劇了洪災程度。在降水多的年份，洪水是否造成災害，以及洪水災害的大小，也離不開人為因素，長期以來人為的森林破壞是其重要原因。長江上游亂砍濫伐的惡果是驚人的水土流失。現已達35 萬平方千米，每年土壤浸融量達25 億噸。

河流、湖泊、水庫淤積的泥沙量達20 億噸。僅四川一省一年流入長江各支流的泥沙，如疊成寬高各1 米的堤，可以圍繞地球赤道16 圈。我國第一大淡水湖洞庭湖每年沉積的泥沙達1 億多噸，有專家驚呼：“這樣下去，要不了50 年，洞庭湖將從地球上消失！”長江之險，險在荊江，由于泥沙俱下，如今荊江段河床比江外地面高出十多米，成了除黃河之外名副其實的地上河。對森林的肆意砍伐不僅危害自己，而且禍及子孫后代，世界上許多地方，如美索不達米亞、小亞細亞、阿爾卑斯山南坡等由于過度砍伐森林，最后都變成了不毛之地。

附件train.csv 中提供了超過100 萬的洪水數據，其中包含洪水事件的id、季風強度、地形排水、河流管理、森林砍伐、城市化、氣候變化、大壩質量、淤積、農業實踐、侵蝕、無效防災、排水系統、海岸脆弱性、滑坡、流域、基礎設施惡化、人口得分、濕地損失、規劃不足、政策因素和發生洪水的概率。

附件test.csv 中包含了超過70 萬的洪水數據，其中包含洪水事件的id 和上述20 個指標得分，缺少發生洪水的概率。附件submit.csv 中包含test.csv 中的洪2水事件的id，缺少發生洪水的概率。

請你們的團隊通過數學建模和數據分析的方法，預測發生洪水災害的概率，解決以下問題：問題1. 請分析附件train.csv 中的數據，分析并可視化上述20 個指標中，哪些指標與洪水的發生有著密切的關聯？哪些指標與洪水發生的相關性不大？并分析的原因，然后針對洪水的提前預防，提出你們合理的建議和措施。

問題2. 將附件train.csv 中洪水發生的概率聚類成不同類別，分析具有高、中、低風險的洪水事件的指標特征。然后，選取合適的指標，計算不同指標的權重，建立發生洪水不同風險的預警評價模型，最后進行模型的靈敏度分析。

問題3. 基于問題1 中指標分析的結果，請建立洪水發生概率的預測模型，從20 個指標中選取合適指標，預測洪水發生的概率，并驗證你們預測模型的準確性。如果僅用5 個關鍵指標，如何調整改進你們的洪水發生概率的預測模型？

問題4. 基于問題2 中建立的洪水發生概率的預測模型，預測附件test.csv 中所有事件發生洪水的概率，并將預測結果填入附件submit.csv 中。然后繪制這74多萬件發生洪水的概率的直方圖和折線圖，分析此結果的分布是否服從正態分布。

問題分析

這道題目圍繞洪水災害的數據分析與預測展開,要求我們利用給定的大規模數據集,通過數學建模和數據分析方法預測洪水發生的概率。題目包含四個子問題,涵蓋了數據探索、風險分類、預測建模等多個方面,綜合考察我們的數據分析能力和建模技巧。

問題一分析

問題1主要關注數據探索和特征分析。這個問題要求對20個指標與洪水發生概率的關系進行深入分析,并進行可視化。思路上可以先進行相關性分析,計算各指標與洪水概率的相關系數,識別出最相關的指標。然后可以使用各種可視化技術,如散點圖、熱力圖等,直觀展示指標與洪水概率的關系。對于相關性較強的指標,可以進一步分析其物理意義,探討其影響洪水發生的機制。對于相關性較弱的指標,也需要考慮存在的非線性關系。最后,基于分析結果提出針對性的防洪建議,這需要結合實際情況,考慮經濟、社會、環境等多方面因素。

問題二分析

問題2聚焦于風險分類和評價模型構建。首先需要對洪水概率進行聚類,可以考慮使用K-means、層次聚類等算法,將洪水事件劃分為高、中、低風險類別。然后分析各類別的指標特征,可以使用統計檢驗方法比較不同類別間各指標的差異。在此基礎上,選取有代表性的指標構建預警評價模型。模型選擇上可以考慮決策樹、隨機森林等易于解釋的模型,也可以使用邏輯回歸等傳統方法。權重計算可以采用信息增益、基尼系數等方法。最后進行靈敏度分析,可以通過改變輸入參數,觀察模型輸出的變化,評估模型的穩定性和可靠性。

問題三分析

問題3要求建立洪水概率預測模型。基于問題1的分析結果,可以選擇相關性較強的指標作為特征。模型選擇上,可以考慮線性回歸、決策樹、隨機森林、支持向量機、神經網絡等多種算法。建議采用交叉驗證的方式評估模型性能,選擇最優模型。模型評估指標可以使用均方誤差、R方等。對于5個關鍵指標的模型,可以采用特征選擇技術,如遞歸特征消除、Lasso等方法選擇最重要的5個特征。然后可以嘗試集成學習方法,如隨機森林、梯度提升樹等,提高模型在有限特征下的預測能力。同時,可以考慮引入非線性變換,捕捉特征間的復雜關系。

問題四分析

問題4是對建立的模型進行應用和結果分析。首先需要使用問題3中建立的模型對test.csv中的數據進行預測,并將結果填入submit.csv。這一步需要注意數據預處理的一致性,確保測試集的特征與訓練集保持一致。然后繪制預測結果的直方圖和折線圖,這可以使用matplotlib、seaborn等Python可視化庫完成。分析分布是否服從正態分布,可以采用Q-Q圖、Shapiro-Wilk檢驗等方法。如果發現分布顯著偏離正態分布,需要進一步分析的原因,如是否存在異常值、是否有明顯的偏態等。這一分析會為模型的進一步優化提供線索,也揭示洪水風險分布的某些特征。

模型假設

在問題1到問題4的模型建立與求解過程中使用以下模型假設：

線性關系假設：在使用線性回歸、Ridge回歸和Lasso回歸等線性模型時，我們假設洪水發生概率與預測因子之間存在線性或近似線性的關系，這種假設簡化了模型結構，但無法捕捉復雜的非線性相互作用。
特征獨立性假設：在多數模型中，我們假設各個預測因子之間是相互獨立的，盡管在現實中，諸如地形、氣候和人類活動等因素存在復雜的相互影響。
數據分布假設：在使用某些統計方法（如相關性分析）和參數模型時，我們假設數據服從特定的分布（如正態分布），這種假設有助于簡化計算和推斷，但不完全符合復雜的自然現象。
（后略，見完整版本）

符號說明

以下是亞太杯中文賽2024問題1-問題4的模型建立與求解過程中使用的主要符號及其說明:

添加圖片注釋，不超過 140 字（可選）

這個表格涵蓋了在線性回歸、相關性分析、聚類分析、主成分分析、決策樹、隨機森林和XGBoost等模型中使用的主要符號。根據具體的上下文，這些符號有細微的變化或額外的下標。

模型的建立與求解

問題一模型的建立與求解

思路分析

問題1要求我們分析附件train.csv中的數據，探究20個指標與洪水發生概率之間的關系，并對此進行可視化分析。我們的思路是首先對數據進行預處理，包括處理缺失值、異常值，以及進行必要的數據轉換。然后，我們將采用多種統計和機器學習方法來分析指標與洪水概率的關系。我們將采用以下步驟：

數據預處理：檢查并處理缺失值和異常值，必要時進行數據標準化或歸一化。
相關性分析：計算各指標與洪水概率之間的相關系數，識別出最相關的指標。
可視化分析：使用散點圖、熱力圖等可視化技術，直觀展示指標與洪水概率的關系。
特征重要性分析：使用機器學習模型（如隨機森林）來評估各指標對洪水概率預測的重要性。
非線性關系分析：考慮到某些指標與洪水概率存在非線性關系，我們將使用互信息分析等方法來捕捉這些復雜關系。
多元統計分析：使用主成分分析（PCA）等方法，探索指標之間的相互關系及其對洪水概率的綜合影響。

通過這種多角度、多方法的分析，我們能夠全面地理解各指標與洪水發生概率之間的關系，為后續的預測模型建立奠定基礎。

相關性分析模型建立

為了深入分析2024亞太杯數學建模競賽（中文賽項）B題的20個指標與洪水發生概率之間的關系，我們首先建立相關性分析模型。這個模型將幫助我們量化每個指標與洪水概率之間的線性關系強度。

我們選擇使用皮爾遜相關系數（Pearson correlation coefficient）作為主要的相關性度量指標。皮爾遜相關系數能夠衡量兩個變量之間的線性相關程度，其值范圍在-1到1之間，其中1表示完全正相關，-1表示完全負相關，0表示無線性相關。同時，考慮到某些指標與洪水概率存在非線性關系，我們還將計算斯皮爾曼等級相關系數（Spearman's rank correlation coefficient）。斯皮爾曼相關系數能夠捕捉單調非線性關系，對異常值的敏感性較低。此外，我們還將使用互信息（Mutual Information）來衡量指標與洪水概率之間的非線性相關性。互信息能夠捕捉到更復雜的非線性關系，是對線性相關分析的有力補充。

相關性分析算法步驟

數據預處理： a) 加載train.csv數據集。 b) 檢查并處理缺失值，可以選擇刪除包含缺失值的行或使用均值/中位數填充。 c) 檢測并處理異常值，可以使用Z-score方法或四分位數法。 d) 對數據進行標準化處理，使所有特征在相同的尺度上。

計算皮爾遜相關系數： a) 對于每個指標Xi和洪水概率Y，計算它們之間的皮爾遜相關系數。 b) 將結果存儲在相關系數矩陣中。

計算斯皮爾曼等級相關系數： a) 對于每個指標Xi和洪水概率Y，計算它們之間的斯皮爾曼等級相關系數。 b) 將結果存儲在另一個相關系數矩陣中。

計算互信息： a) 對于每個指標Xi和洪水概率Y，計算它們之間的互信息值。 b) 將結果存儲在互信息矩陣中。

可視化分析： a) 繪制熱力圖，展示各指標與洪水概率之間的相關系數。 b) 繪制散點圖矩陣，直觀展示每個指標與洪水概率之間的關系。 c) 繪制互信息條形圖，展示各指標與洪水概率之間的非線性相關性。

特征重要性分析： a) 使用隨機森林模型對數據進行擬合。 b) 計算每個特征的重要性得分。 c) 可視化特征重要性得分。

主成分分析（PCA）： a) 對標準化后的數據進行PCA轉換。 b) 分析主成分對原始特征的解釋程度。 c) 可視化前幾個主成分與洪水概率的關系。

皮爾遜相關系數：

皮爾遜相關系數計算公式如下：

其中：

是x和y之間的皮爾遜相關系數
和分別是變量x和y的第i個觀測值
和分別是x和y的平均值
n是觀測值的總數

解釋：皮爾遜相關系數衡量了兩個變量之間的線性相關程度。它的值范圍在-1到1之間，1表示完全正相關，-1表示完全負相關，0表示無線性相關。

斯皮爾曼等級相關系數：

斯皮爾曼等級相關系數的計算公式如下：

其中：

是斯皮爾曼等級相關系數
是第i個觀測值在x和y兩個變量上的等級差
n是觀測值的總數

解釋：斯皮爾曼等級相關系數衡量了兩個變量之間的單調關系強度，它對異常值不敏感，能夠捕捉非線性但單調的關系。

互信息：

互信息的計算公式如下：（略，見完整版本）

問題一模型的求解

基于上述建立的模型和算法步驟，我們現在開始對問題一進行具體的求解。我們將使用Python編程語言及其相關庫（如pandas, numpy, scikit-learn, matplotlib等）來實現數據處理、分析和可視化。

問題一的求解結果如下，對這些結果和相關的可視化圖進行詳細的解釋和分析如下：

相關性分析結果：

前5個最相關的特征（基于皮爾遜相關系數）：（略，見完整版本）

這些結果揭示了幾個關鍵點：（略，見完整版本）

PCA解釋方差比分析：

PCA（主成分分析）的結果顯示了每個主成分解釋的方差比例。從給出的數據中，我們可以觀察到：（略，見完整版本）

可視化圖分析：

a) 相關性熱力圖（問題1_相關性熱力圖.png）：

添加圖片注釋，不超過 140 字（可選）

這個圖可以直觀地展示所有特征之間的相關關系。
顏色越深表示相關性越強，紅色表示正相關，藍色表示負相關。
對角線應該是深紅色，表示每個特征與自身的完全正相關。
通過這個圖，我們可以識別出哪些特征組之間存在多重共線性問題。

b) 皮爾遜相關系數條形圖（問題1_皮爾遜相關系數條形圖.png）：

添加圖片注釋，不超過 140 字（可選）

這個圖直觀地展示了每個特征與洪水概率的線性相關程度。
長度越長的條形表示相關性越強。
這個圖應該與我們之前分析的前5個最相關特征一致。

c) 斯皮爾曼相關系數條形圖（問題1_斯皮爾曼相關系數條形圖.png）：（略，見完整版本）

d) 互信息條形圖（問題1_互信息條形圖.png）：

添加圖片注釋，不超過 140 字（可選）

互信息衡量了特征與洪水概率之間的統計依賴性，不限于線性關系。
這個圖可以幫助我們發現那些與洪水概率有復雜非線性關系的特征。

（其他分析結論略，見完整版本）

問題二模型的建立與求解

思路分析

問題2要求我們將洪水發生的概率聚類成不同類別，分析具有高、中、低風險的洪水事件的指標特征，然后選取合適的指標，計算不同指標的權重，建立發生洪水不同風險的預警評價模型，最后進行模型的靈敏度分析。這個問題涉及多個步驟，需要我們綜合運用多種數據分析和機器學習技術。我們的思路如下：（略，見完整版本）

問題二模型的求解

以下是基于前面建立的模型，用于求解問題2的詳細完整Python代碼，包括數據處理、聚類分析、特征選擇、模型構建、可視化和結果保存：

import pandas as pd import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import seaborn as sns from sklearn.preprocessing import StandardScaler from sklearn.cluster import KMeans from sklearn.decomposition import PCA from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier from sklearn.model_selection import train_test_split from sklearn.metrics import confusion_matrix, classification_report from scipy import stats import warnings warnings.filterwarnings('ignore') # 設置中文字體 plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 加載數據 data = pd.read_csv('train.csv') # 數據預處理 X = data.drop('洪水概率', axis=1) y = data['洪水概率'] # 標準化 scaler = StandardScaler() X_scaled = scaler.fit_transform(X) # 聚類（略，見完整版本） # 可視化聚類結果 plt.figure(figsize=(10, 6)) for i in range(3): cluster_data = y[clusters == i] plt.hist(cluster_data, bins=50, alpha=0.5, label=f'聚類 {i+1}') plt.title('洪水發生概率聚類結果') plt.xlabel('洪水發生概率') plt.ylabel('頻數') plt.legend() plt.savefig('問題2_聚類結果直方圖.png', dpi=300) plt.close() # 添加聚類標簽到原始數據 data['風險類別'] = clusters # 特征分析 feature_means = data.groupby('風險類別').mean() feature_means.to_csv('問題2_特征均值.csv', encoding='utf-8-sig') # 可視化特征分布 plt.figure(figsize=(20, 15)) for i, feature in enumerate(X.columns): plt.subplot(5, 4, i+1) sns.boxplot(x='風險類別', y=feature, data=data) plt.title(f'{feature}分布') plt.tight_layout() plt.savefig('問題2_特征分布箱線圖.png', dpi=300) plt.close() # 特征重要性分析 rf = RandomForestClassifier(n_estimators=100, random_state=42) rf.fit(X_scaled, clusters) feature_importance = pd.Series(rf.feature_importances_, index=X.columns).sort_values(ascending=False) （略，見完整版本） # 可視化靈敏度分析結果 plt.figure(figsize=(12, 8)) plt.bar(sensitivity_df['特征'], sensitivity_df['敏感度']) plt.title('特征靈敏度分析') plt.xlabel('特征') plt.ylabel('敏感度') plt.xticks(rotation=45) plt.tight_layout() plt.savefig('問題2_特征靈敏度條形圖.png', dpi=300) plt.close() print("問題2的所有分析和可視化結果已保存。")

問題二模型求解結果可視化與分析

結果分析和解釋：對2024亞太杯數學建模競賽B題問題二的其他可視化圖進行詳細的解釋和分析，我們將逐一分析每個圖：

聚類結果直方圖 (問題2_聚類結果直方圖.png)：（略，見完整版本）
特征分布箱線圖 (問題2_特征分布箱線圖.png)：

添加圖片注釋，不超過 140 字（可選）

特征重要性條形圖 (問題2_特征重要性條形圖.png)；PCA累積解釋方差比圖 (問題2_PCA累積解釋方差比.png)：這個圖顯示了主成分分析（PCA）的結果，展示了需要多少個主成分才能解釋數據的大部分方差。通過這個圖，我們可以：（略，見完整版本）

問題三模型的建立與求解

思路分析

2024亞太杯數學建模競賽B題問題3要求我們基于問題1中的指標分析結果，建立洪水發生概率的預測模型。這個任務涉及到多個關鍵步驟，包括特征選擇、模型構建、模型評估和優化。我們的思路是首先基于問題1的分析結果，選擇最相關和最重要的特征，然后構建一系列預測模型，比較它們的性能，最后選擇最佳模型并進行優化。我們將采取以下步驟：（略，見完整版本）

梯度提升樹模型建立

在嘗試了多種模型后，我們發現梯度提升樹模型，特別是XGBoost（eXtreme Gradient Boosting）算法，在預測洪水發生概率方面表現最為出色。XGBoost是一種集成學習方法，它通過構建多個決策樹并將它們的預測結果綜合起來，從而得到一個強大的預測模型。XGBoost在處理非線性關系和特征交互方面表現優異，同時具有較好的可解釋性，這使它特別適合我們的洪水預測任務。

XGBoost模型的基本思想是通過迭代的方式，每次構建一個新的決策樹來擬合前面所有樹的預測結果與真實值之間的殘差。通過這種方式，模型能夠逐步提高其預測精度。XGBoost相比于傳統的梯度提升樹算法，還引入了正則化項來控制模型復雜度，使用了更加高效的近似算法來確定最佳分裂點，并實現了并行計算，這些改進使得XGBoost在性能和效率上都有顯著提升。（后略，見完整版本）

XGBoost特征重要性圖 (問題3_XGBoost特征重要性.png)：
SHAP值特征重要性圖 (問題3_SHAP值特征重要性.png)：（后略，見完整版本）

添加圖片注釋，不超過 140 字（可選）

模型的評價與推廣

以下是對問題1-問題4的模型建立與求解過程中建立的模型的優缺點及其推廣的總結：

問題1模型的評價與推廣

優點： a) 相關性分析方法（如皮爾遜相關系數、斯皮爾曼等級相關系數和互信息）提供了多角度的特征重要性評估，能夠捕捉線性和非線性關系，這種綜合分析有助于全面理解各個因素對洪水發生概率的影響程度。 b) 主成分分析（PCA）有效地揭示了數據的內在結構，為降維和特征提取提供了科學依據，這對于處理高維度的洪水預測問題具有重要意義。
缺點： a) 相關性分析忽視了特征間的交互作用，無法完全捕捉復雜的非線性關系，這導致對某些重要但復雜的影響因素的低估。（后略，見完整版本）

添加圖片注釋，不超過 140 字（可選）