題目

考慮矢量MAP估計量

證明這個估計量對于代價函數

使貝葉斯風險最小。其中：, ，且.

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解答

貝葉斯風險函數：

基于概率密度的非負特性，上述對積分要求最小，那就需要內層積分達到最小。令內層積分為：

上述積分的區域為：，根據概率密度函數積分的形式，上式也等于：

此時，上式函數的積分區域轉化為：

當時，仍然要保證最小，那么就需要在區域上，確保積分最大，那么只有尋找到函數的最大值，并令最大值就是才能滿足要求，即：