常見函數的導數

常量函數的導數

$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
常量函數的圖像是一條水平線 $y=c$，它的斜率為0，所以我們必須有 $f^{\prime }(x)=0$。從導數的定義來看，證明也很簡單：
$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)?f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{c?c}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{0}{h}=0$$

冪函數的導數

接下來看冪函數$f(x)=x^n$，其中$n$為正整數。當$n=1$時，函數的圖像是一條直線，斜率為$1$。
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
當$n=2$或$n=3$時，根據上一節的計算，我們得知它們的導數為
$$\frac{d}{dx}(x^2)=2x$$
$$\frac{d}{dx}(x^3)=3x^2$$
從上面的冪函數導數，我們有理由猜測$(d/dx)(x^n)=n{x}^{n?1}$。
冪函數的導數
$$\frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n?1}$$
第一種證明
已知公式
$$x^n?a^n=(x?a)(x^{n?1}+x^{n?2}a+?+x{a}^{n?2}+a^{n?1})$$
因此：
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)?f(a)}{x?a}& =\underset{x\to a}{\lim }\frac{x^n?a^n}{x?a}\\ & =\underset{x\to a}{\lim }(x^{n?1}+x^{n?2}a+?+x{a}^{n?2}+a^{n?1})\\ & =a^{n?1}+a^{n?2}a+?+a{a}^{n?2}+a^{n?1}\\ & =n{a}^{n?1}\end{array}$$
第二種證明
使用二項式定理進行展開：

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^n?x^n}{h}& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left[x^n+n{x}^{n?1}h+\frac{n(n?1)}{2}{x}^{n?2}{h}^2+?+nh{x}^{n?1}+h^n\right]?x^n}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{n{x}^{n?1}h+\frac{n(n?1)}{2}{x}^{n?2}{h}^2+?+nh{x}^{n?1}+h^n}{h}\right]\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\left[n{x}^{n?1}+\frac{n(n?1)}{2}{x}^{n?2}h+?+nh{x}^{n?1}+h^{n?1}\right]\\ & =n{x}^{n?1}\end{array}$$

例子 1
(a) 如果 $f(x)=x^6$，則 $f’(x)=6x^5$。
(b) 如果 $y=x^{1000}$，則 $y’=1000x^{999}$。
(c) 如果 $y=t^4$，則 $\frac{dy}{dt}=4t^3$。
(d) 如果 $\frac{d}{dr}(r^3)=3r^2$。

組合函數的導數

常數倍法則

如果 $c$ 是一個常數且 $f$ 是可微函數，則
$$\frac{d}{dx}[cf(x)]=c\frac{d}{dx}[f(x)]$$
證明
令 $t(x)=cf(x)$。則
$$\begin{array}{rl}t’(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{t(x+h)?t(x)}{h}& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{cf(x+h)?cf(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\left[c\frac{f(x+h)?f(x)}{h}\right]\\ & =c\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)?f(x)}{h}\\ & =cf’(x)\end{array}$$
例子 2
(a) $\frac{d}{dx}(3x^4)=3\frac{d}{dx}(x^4)=3(4x^3)=12x^3$

(b) $\frac{d}{dx}(2x)=\frac{d}{dx}[2?x]=2?\frac{d}{dx}(x)=2?1=2$

和法則

如果 $f$ 和 $t$ 都是可微的，則
$$\frac{d}{dx}[f(x)+t(x)]=\frac{d}{dx}[f(x)]+\frac{d}{dx}[t(x)]$$

用導數符號表示，可以寫成：
$$(f+t{)}^{\prime }=f^{\prime }+t^{\prime }$$

證明
令 $F(x)=f(x)+g(x)$。則
$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{F(x+h)?F(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{[f(x+h)+g(x+h)]?[f(x)+g(x)]}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{f(x+h)?f(x)}{h}+\frac{g(x+h)?g(x)}{h}\right]\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)?f(x)}{h}+\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h)?g(x)}{h}\\ & =f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)\end{array}$$

和法則可以擴展到任意數量函數的和。例如，使用這個定理兩次，我們得到
$$(f+t+h{)}^{\prime }=[(f+t)+h{]}^{\prime }=(f+t{)}^{\prime }+h^{\prime }=f^{\prime }+t^{\prime }+h^{\prime }$$

差法則

通過將 $f?g$ 寫成 $f+(?g)$ 并應用和法則和常數倍法則，我們得到如下公式。
$$\frac{d}{dx}[f(x)?g(x)]=\frac{d}{dx}[f(x)]?\frac{d}{dx}[g(x)]$$

常數倍法則、和法則和差法則可以與冪法則結合，來求任何多項式的導數，如下例所示。
例子 3
$$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dx}(x^8+12x^5?24x^4+10x^3?26x+5)\\ & =\frac{d}{dx}(x^8)+12\frac{d}{dx}(x^5)?24\frac{d}{dx}(x^4)+10\frac{d}{dx}(x^3)?26\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(5)\\ & =8x^7+12(5x^4)?24(4x^3)+10(3x^2)?26(1)+0\\ & =8x^7+60x^4?96x^3+30x^2?26\end{array}$$

例子 4
求曲線 $y=x^4?6x^2+4$ 上切線為水平線的點。

解
水平切線出現在導數為零的地方。我們有
$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^4)?6\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(4)=4x^3?12x=4x(x^2?3)$$

因此，當 $x=0$ 或 $x^2?3=0$ 時，即 $x=\pm \sqrt{3}$，導數為零。因此，給定曲線在 $x=0,\sqrt{3},?\sqrt{3}$ 時有水平切線。相應的點是 $(0,4)$，$(\sqrt{3},?5)$ 和 $(?\sqrt{3},?5)$。

例子 5
粒子的運動方程是 $s=2t^3?5t^2+13t+4$，其中 $s$ 的單位是厘米，$t$ 的單位是秒。求加速度作為時間的函數。2秒后的加速度是多少？

解
速度和加速度是
$$v(t)=\frac{ds}{dt}=6t^2?10t+13$$
$$a(t)=\frac{dv}{dt}=12t?10$$

2秒后的加速度是$a(2)=12(2)?10=24?10=14{\text{?cm/s}}^2$

乘積法則

如果 $f$ 和 $t$ 都是可微的，則
$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]+t(x)\frac{d}{dx}[f(x)]$$

證明
令 $F(x)=f(x)t(x)$。則
$$F^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{F(x+h)?F(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)t(x+h)?f(x)t(x)}{h}$$
為了求解這個極限，我們希望像在和法則的證明中那樣，將函數 $f$ 和 $g$ 分開。我們可以通過在分子中加上和減去 $f(x+h)g(x)$ 來實現這種分離：
$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)t(x+h)?f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)?f(x)g(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{f(x+h)g(x+h)?f(x+h)g(x)}{h}+\frac{f(x+h)g(x)?f(x)g(x)}{h}\right]\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\left[f(x+h)\frac{g(x+h)?g(x)}{h}+g(x)\frac{f(x+h)?f(x)}{h}\right]\\ & =f(x)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{t(x+h)?g(x)}{h}+g(x)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)?f(x)}{h}\\ & =f(x)g^{\prime }(x)+g(x)f^{\prime }(x)\end{array}$$
簡而言之，乘積法則表明，兩個函數的乘積的導數是第一個函數乘以第二個函數的導數加上第二個函數乘以第一個函數的導數。

例子 6
如果 $h(x)=xg(x)$ 并且已知 $g(3)=5$ 和 $g^{\prime }(3)=?2$，求 $h^{\prime }(3)$。

解
應用乘積法則，我們得到
$$h^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}[xg(x)]=x\frac{d}{dx}[g(x)]+g(x)\frac{d}{dx}[x]=x{g}^{\prime }(x)+g(x)?1$$

因此，
$$h^{\prime }(3)=3t^{\prime }(3)+t(3)=3?(?2)+5=?6+5=?1$$

商法則

如果 $f$ 和 $g$ 可微，則
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{g(x)\frac{d}{dx}[f(x)]?f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x){]}^2}$$

用導數符號表示：
$${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{g{f}^{\prime }?f{g}^{\prime }}{g^2}$$

證明
令 $F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$。則
$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{F(x+h)?F(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}?\frac{f(x)}{g(x)}}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x)?f(x)g(x+h)}{hg(x)g(x+h)}\end{array}$$

我們可以通過在分子中加上和減去 $f(x)g(x)$ 來將 $f$ 和 $g$ 分開：
$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x)?f(x)g(x)+f(x)g(x)?f(x)g(x+h)}{hg(x)g(x+h)}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{f(x+h)g(x)?f(x)g(x)}{hg(x)g(x+h)}+\frac{f(x)g(x)?f(x)g(x+h)}{hg(x)g(x+h)}\right]\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{g(x)\frac{f(x+h)?f(x)}{h}}{g(x)g(x+h)}?\frac{f(x)\frac{g(x+h)?g(x)}{h}}{g(x)g(x+h)}\right]\\ & =\frac{g(x)f^{\prime }(x)?f(x)g^{\prime }(x)}{{\left[g(x)\right]}^2}\end{array}$$

因為$g$ 在 $x$ 處是連續的，所以 ${\lim }_{h\to 0}g(x+h)=g(x)$。

用語言描述，商法則表示一個商的導數是分母乘以分子導數減去分子乘以分母導數，然后除以分母的平方。
例子 7
令 $y=\frac{x^3+1}{x^2+2x+1}$。則
$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\frac{(x^2+2x+1)\frac{d}{dx}(x^3+1)?(x^3+1)\frac{d}{dx}(x^2+2x+1)}{(x^2+2x+1{)}^2}\\ & =\frac{(x^2+2x+1)(3x^2)?(x^3+1)(2x+2)}{(x^2+2x+1{)}^2}\\ & =\frac{(3x^4+6x^3+3x^2)?(2x^4+2x^3+2x+2x^3+2)}{(x^2+2x+1{)}^2}\\ & =\frac{3x^4+6x^3+3x^2?2x^4?4x^3?2x^3?2x?2}{(x^2+2x+1{)}^2}\\ & =\frac{x^4+2x^3+3x^2?2x?2}{(x^2+2x+1{)}^2}\end{array}$$

注意
不要每次看到商都使用商法則。有時候，先重寫商使其形式更簡化以便求導會更容易。例如，盡管可以使用商法則來求導函數 $F(x)=\frac{3x^2+1}{2x}$，但更簡單的方法是先進行除法，寫成
$$F(x)=\frac{3x^2}{2x}+\frac{1}{2x}=\frac{3x}{2}+\frac{1}{2x}$$
然后再求導。

一般冪函數

商法則可以用來將冪法則擴展到指數為負整數的情況。

如果 $n$ 是正整數，則
$$\frac{d}{dx}(x^{?n})=?n{x}^{?n?1}$$

證明
$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}(x^{?n})& =\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^n}\right)\\ & =\frac{x^n?\frac{d}{dx}(1)?1?\frac{d}{dx}(x^n)}{(x^n{)}^2}=\frac{0?n{x}^{n?1}}{x^{2n}}\\ & =?n\frac{x^{n?1}}{x^{2n}}=?n{x}^{?n?1}\end{array}$$

例子 8
(a) 如果 $y=\frac{1}{x}$，則$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^{?1})=?x^{?2}=?\frac{1}{x^2}$

(b)$\frac{d}{dt}\left(\frac{6}{t^3}\right)=6\frac{d}{dt}(t^{?3})=6?(?3t^{?4})=?18t^{?4}$

到目前為止，我們知道當指數 $n$ 是正整數或負整數時，冪法則成立。如果 $n=0$，則 $x^0=1$，其導數為 $0$。因此，冪法則對任何整數 $n$ 都成立。那么如果指數是分數呢？在前面章節得例子中，我們發現
$$\frac{d}{dx}(x^{1/2})=\frac{1}{2}{x}^{?1/2}$$
這表明冪法則在 $n=1/2$ 時也成立。事實上，它對任何實數 $n$ 都成立，我們將在后面的章節中證明這一點。

冪法則（一般版本）

如果 $n$ 是任意實數，則
$$\frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n?1}$$

例子 9
(a) 如果 $f(x)=x^{\pi }$，則
$$f^{\prime }(x)=\pi x^{\pi ?1}$$

(b) 如果 $y=\frac{1}{3x^2}$，則
$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(3^{?1}{x}^{?2})=3^{?1}??2x^{?3}=?\frac{2}{3x^3}$$

例子 10
求函數 $f(t)=t\sqrt{a+bt}$ 的導數。

解
使用乘積法則，我們有
$$f^{\prime }(t)=t\frac{d}{dt}(\sqrt{a+bt})+\sqrt{a+bt}\frac{d}{dt}(t)$$
$$=t?\frac{b}{2\sqrt{a+bt}}+\sqrt{a+bt}?1$$
$$=\frac{bt}{2\sqrt{a+bt}}+\sqrt{a+bt}$$

微分法則使我們能夠找到切線，而無需求助于導數的定義。它還使我們能夠找到法線。曲線 $C$ 在點 $P$ 處的法線是通過 $P$ 的與 $P$ 處的切線垂直的線。（在光學研究中，需要考慮光線與透鏡法線之間的角度。）

例子 11
求曲線 $y=\frac{\sqrt{x}}{1+x^2}$ 在點 $(1,\frac{1}{2})$ 處的切線和法線的方程。

解
根據商法則，我們有
$$\frac{dy}{dx}=\frac{(1+x^2)?\frac{d}{dx}(\sqrt{x})?\sqrt{x}?\frac{d}{dx}(1+x^2)}{(1+x^2{)}^2}=\frac{(1+x^2)?\frac{1}{2\sqrt{x}}?\sqrt{x}?2x}{(1+x^2{)}^2}$$

簡化得
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{1+x^2}{2\sqrt{x}}?2x\sqrt{x}}{(1+x^2{)}^2}=\frac{\frac{1+x^2?4x^2}{2\sqrt{x}}}{(1+x^2{)}^2}=\frac{\frac{1?3x^2}{2\sqrt{x}}}{(1+x^2{)}^2}=\frac{1?3x^2}{2\sqrt{x}(1+x^2{)}^2}$$

所以在點 $(1,\frac{1}{2})$ 處切線的斜率是
$${\frac{dy}{dx}|}_{x=1}=\frac{1?3?1^2}{2?\sqrt{1}?(1+1^2{)}^2}=\frac{1?3}{2?1?(1+1{)}^2}=\frac{?2}{2?4}=\frac{?2}{8}=?\frac{1}{4}$$

我們使用點斜式來寫在點 $(1,\frac{1}{2})$ 處切線的方程：
$$y?\frac{1}{2}=?\frac{1}{4}(x?1)\text{或}y=?\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}$$

在點 $(1,\frac{1}{2})$ 處法線的斜率是 $?\frac{1}{4}$ 的負倒數，即 4，因此法線的方程是
$$y?\frac{1}{2}=4(x?1)\text{或}y=4x?\frac{7}{2}$$

曲線及其切線和法線如圖所示。

例子 12
雙曲線 $xy=12$ 上的哪些點處的切線與直線 $3x+y=0$ 平行？

解
由于 $xy=12$ 可以寫成 $y=\frac{12}{x}$，我們有
$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{12}{x}\right)=12?\frac{d}{dx}\left(x^{?1}\right)=12?(?x^{?2})=?\frac{12}{x^2}$$

令所求點的 $x$ 坐標為 $a$，則切線的斜率為
$$?\frac{12}{a^2}$$

切線與直線 $3x+y=0$ 平行，這意味著兩條直線的斜率相同。直線 $3x+y=0$ 的斜率為 $?3$。因此，
$$?\frac{12}{a^2}=?3$$

解這個方程，我們得到
$$\frac{12}{a^2}=3$$
$$a^2=\frac{12}{3}$$
$$a^2=4$$
$$a=2\text{或}a=?2$$

因此，$x$ 坐標為 $2$ 或 $?2$ 的點上，切線與直線 $3x+y=0$ 平行。

對應的 $y$ 坐標為：
當 $a=2$ 時，$y=\frac{12}{2}=6$，
當 $a=?2$ 時，$y=\frac{12}{?2}=?6$。

所以切線與直線 $3x+y=0$ 平行的點是 $(2,6)$ 和 $(?2,?6)$。

我們總結一下迄今為止學到的微分公式如下：

微分公式表

$$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dx}(c)=0\\ & \frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n?1}\\ & \frac{d}{dx}(cf)=c{f}^{\prime }\\ & (f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }\\ & (f?g{)}^{\prime }=f^{\prime }?g^{\prime }\\ & (fg{)}^{\prime }=f{g}^{\prime }+g{f}^{\prime }\\ & {\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{g{f}^{\prime }?f{g}^{\prime }}{g^2}\end{array}$$