要求解一個系統的穩態輸出，需要根據系統的類型（如線性時不變系統、非線性系統等）、輸入信號的性質（如階躍信號、正弦信號等）以及系統的描述方法（如微分方程、狀態空間模型等）。這里主要介紹線性時不變系統（LTI系統）的穩態輸出求解方法：

對于LTI系統

1. 系統描述和輸入信號：
   首先，確認系統的描述（傳遞函數、沖擊響應、差分/微分方程）和輸入信號的類型。

2. 使用傳遞函數求解穩態輸出：
   如果系統以傳遞函數 $H(s)$ 描述，并且輸入信號 $X(s)$ 是已知的，可以通過計算系統輸出的拉普拉斯變換 $Y(s)$ 來求解。

   $Y(s)=H(s)\times X(s)$

   對于穩態輸出，我們關心的是 $s$ 趨近于零的情形（對于直流輸入）或者輸入信號頻率的特定值（對于周期性輸入）。

3. 正弦穩態響應：
   對于正弦輸入 $x(t)=A\sin (\omega t+?)$，其拉普拉斯變換是 $X(s)=\frac{A\omega }{s^2+{\omega }^2}$。將 $X(s)$ 代入 $Y(s)=H(s)X(s)$，然后通過求逆拉普拉斯變換找到 $y(t)$。通常情況下，只需考慮系統對于頻率為 $\omega$ 的正弦波的響應。這可以通過計算 $H(j\omega )$ 來獲得，其中 $j$ 是虛數單位。系統的輸出將是：

   $y(t)=|H(j\omega )|A\sin (\omega t+?+\arg (H(j\omega )))$

   其中，$|H(j\omega )|$ 是振幅增益，$\arg (H(j\omega ))$ 是相位移。

4. 階躍穩態響應：
   對于階躍輸入 $x(t)=u(t)$，其拉普拉斯變換為 $X(s)=\frac{1}{s}$。計算 $Y(s)=H(s)\frac{1}{s}$，并求逆拉普拉斯變換找到 $y(t)$。在穩態（$t\to \infty$）時，輸出 $y(t)$ 通常會趨于一個常數值，這個值可以通過計算 ${\lim }_{s\to 0}sY(s)$ 來獲取。

對于非線性或時變系統

對于非線性或時變系統，穩態輸出的分析更為復雜，可能需要使用數值方法、仿真或者特定的解析技術來求解。通常，這些系統無法簡單使用傳遞函數描述，而是需要依靠狀態空間表示或非線性動力學分析。

實際應用

在工程實踐中，通常使用計算軟件（如MATLAB）來處理這些計算，尤其是在輸入信號復雜或系統響應難以解析求解時。軟件工具可以提供快速準確的穩態響應分析，特別是在設計控制系統或電子電路時。