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📜孤子波用例：Python火焰鋒動力學和淺水表面波浪偏微分方程

📜有限差分用例：Python微磁學磁傾斜和西塔規則算法

📜標量場用例：Python光束三維二維標量場和算法

🍇Python鋼棒熱微分

熱方程簡潔地描述了熱擴散和傳遞的極其復雜的世界，它是一個偏微分方程，而非常微分方程，所以在求解它時，只要知道它涉及一個具有多個變量的函數的導數，而不是只有一個變量的函數。
$$\frac{?u}{?t}=k\frac{{?}^{2}u}{?x^2}$$
考慮一根初始冷的 $\left(0^{°}C\right)$ 金屬棒，長度為 $L$，具有傳遞熱量 $k$ 的能力。如果我們連續加熱該金屬棒的兩端，例如 $200^{°}C$，那么隨著時間的推移，熱量將在金屬棒上擴散并達到平衡。熱方程告訴我們熱量如何隨時間傳播，其解為我們提供了一個函數 $u(t,x)$，該函數可以在任何給定時間 $t$ 給出沿著桿 $x$ 的任何點的溫度。

然而，與大多數微分方程一樣，熱方程的精確解析解極難獲得，因此對于大多數應用而言，最佳解方法是我們盡可能最好的求近似值。獲得這些近似值的方法有很多，但我們今天要重點討論的是迄今為止最簡單且應用最廣泛的方法，即有限差分法。

假設一個未知函數 $f(x)$ 的值是我們知道的，這種情況在現實世界中與收集外部數據的任何情況下經常出現。如果我們想求 $f(x)$ 在 $n$ 點的導數，那么，我們需要找到一條與 $f(n)$? 相切的線，并找到它的斜率，如下所示：

如果我們不知道函數 $f(x)$，則我們不可能求其導數并找到切線的斜率。而有限差分法旨在解決這個問題，它使用 $n$ 的相鄰值來近似估計實際切線。如果我們查看 $n$ 之前的一個點和 $n$ 之后的一個點，并且知道它們的值，我們可以通過在 $n$ 和它的一個相鄰點之間畫一條線來開始估計切線。例如，我們可以嘗試在 $n$ 和 $n+1$? 之間畫一條線。

$n$ 和 $n+1$ 之間的估計切線與目標切線相對相似，但讓我們看看是否可以通過使用 $n$ 和 $n?1$ 來更接近。

現在我們知道如何獲得估計的切線，我們現在可以使用前面提到的斜率公式來獲得它的斜率，從而獲得函數在該點的導數。

斜率方程：
$$\frac{y_2?y_1}{x_2?x_1}$$
我們知道 $y$ 值就是 $f(n+1)$ 和 $f(n)$?，因此代入我們所知道的斜率公式就變成：
$$\frac{f(n+1)?f(n)}{x_2?x_1}$$
$x$ 值遵循類似的套路，因為對 $x_2$ 插入 $n+1$，對 $x_1$ 插入 $n$? 會導致：
$$\frac{f(n+1)?f(n)}{1}$$
實際上，我們的 $n$ 值很少會精確地間隔為 1，更一般的形式將使它們間隔為任意值 $dx$?，從而導致我們的有限差分導數的最終公式為：
$$\frac{df}{dx}\approx \frac{f(x+dx)?f(x)}{dx}$$
現在回到熱方程，我們可以用方程的左邊代替它的有限差分版本，考慮到有限微分是相對于 $t$ 發生的事實，而空間變量 $x$ 保持不變。
$$\frac{u(t+dt,x)?u(t,x)}{dt}\approx k\frac{{?}^{2}u}{?x^2}$$
在本模擬中，我們將模擬一根長度為 2 米的初始冷金屬棒，兩端持續加熱至 200?C，假設該棒為鋼，熱常數 $k$? 為 0.466。我們將運行 10 秒的模擬，看看會發生什么。

import numpy
from matplotlib import pyplot

常量：

length = 10               
k = .466                  
temp_at_left_end = 200   
temp_at_right_end = 200   
total_time = 10           

dx = .1    
x_vec = numpy.linspace(0, length, int(length/dx))    
dt = .0001    
t_vec = numpy.linspace(0, total_time, int(total_time/dt))
u = numpy.zeros([len(t_vec), len(x_vec)])

由于我們的棒將在兩端持續加熱，因此我們希望棒的左側和右側始終分別為 temp_at_left_end 和 temp_at_right_end。從數學上講，這可以表示為 u(t, 0) = 200 和 u(t, length) = 200（對于所有時間 t），代碼如下：

u[:, 0] = temp_at_left_end     
u[:, -1] = temp_at_right_end  

您可以看到兩端的溫度很高，而其他地方的溫度均為 0，因此，我們準備解決這個問題！我們要做的就是迭代沿棒的所有點和所有時間點，將它們代入我們之前推導的方程中。

for t in range(1, len(t_vec)-1):for x in range(1, len(x_vec)-1):u[t+1, x] = k * (dt / dx**2) * (u[t, x+1] - 2*u[t, x] + u[t, x-1]) + u[t, x]

要可視化它，只需在循環內部調用 pyplot.plot() 即可獲得動畫繪圖，或在循環外部調用 pyplot.plot() 獲得靜態繪圖。

參閱：👉 計算思維 | 亞圖跨際