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🤖原文： Digital Watermarking Robust to Geometric Distortions

🤖前言： 這是一篇 2005 年的 SCI 一區 + CCF-A，但是網上關于它的講解貌似挺少的。文中提出了兩種數字水印方案，但是我只關注第一種方案中的圖像標準化技術。由于本人很菜，因此可能存在翻譯或者理解的錯誤，請各位指正！

C?變換參數的確定

在本節中，我們展示了如何確定與變換相關的參數，使它們達到各自的標準化目標。

矩陣 ${\mathbf{A}}_x=\left(\begin{array}{cc}1& \beta \\ 0& 1\end{array}\right)$

回顧前文公式：

$${\mu }_{pq}^{\prime }=\sum _{i=0}^p\sum _{j=0}^q{\left(\begin{array}{c}p\\ i\end{array}\right)}^T\left(\begin{array}{c}q\\ j\end{array}\right)a_{11}^i?a_{12}^{p?i}?a_{21}^j?a_{22}^{q?j}?{\mu }_{i+j,p+q?i?j}$$

個人理解：這里提到前文公式，是為了告訴讀者 ${\mu }_{30}^{(2)}$ 是怎么求出來的。應該就是把 $p,q$ 和矩陣 ${\mathbf{A}}_x$ 中的參數代入上式，從而得到 ${\mu }_{30}^{(2)}$。可是我代入進去的結果不對啊？這里的轉置是我自己加的，不加求不了矩陣乘法啊！

我們得到：

$${\mu }_{30}^{(2)}={\mu }_{30}^{(1)}+3\beta {\mu }_{21}^{(1)}+3{\beta }^2{\mu }_{12}^{(1)}+{\beta }^3{\mu }_{03}^{(1)}$$

其中，${\mu }_{pq}^{(1)}$ 是圖像 $f_1(x,y)$ 的中心矩。

令 ${\mu }_{30}^{(2)}=0$，我們得到：

$${\mu }_{30}^{(1)}+3\beta {\mu }_{21}^{(1)}+3{\beta }^2{\mu }_{12}^{(1)}+{\beta }^3{\mu }_{03}^{(1)}=0$$

參數 $\beta$ 就是通過這個式子得到的。

注意到上式在 ${\mu }_{03}^{(1)}\ne 0$ 的情況下最多可以有三個根，這對于大多數自然圖像來說是普遍成立的。特別地，我們可能有以下兩種情況：

• 三個根中一個是實根，另外兩個是復根；
• 三個根都是實根。

對于第一種情況，我們簡單地取 $\beta$ 為實根；對于第二種情況，我們取 $\beta$ 為三個實根的中位數。參見附錄，這樣的選擇保證了得到的標準化圖像的唯一性。

當然，在一些非常不尋常的條件下，根的個數可能會發生變化。例如，當上式涉及到的所有矩都為 $0$ 時，它將有無窮多個解。這可以發生在圖像是旋轉對稱的時候，比如圓盤或者圓環。我們參考文獻 [16] 和 [17] 來更詳細地介紹一般的標準化過程。

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矩陣 ${\mathbf{A}}_y=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \gamma & 1\end{array}\right)$

回顧前文公式：

$${\mu }_{pq}^{\prime }=\sum _{i=0}^p\sum _{j=0}^q{\left(\begin{array}{c}p\\ i\end{array}\right)}^T\left(\begin{array}{c}q\\ j\end{array}\right)a_{11}^i?a_{12}^{p?i}?a_{21}^j?a_{22}^{q?j}?{\mu }_{i+j,p+q?i?j}$$

我們得到：

$${\mu }_{11}^{(3)}=\gamma {\mu }_{20}^{(2)}+{\mu }_{11}^{(2)}$$

令 ${\mu }_{11}^{(3)}=0$，我們得到：

$$\gamma =?\frac{{\mu }_{11}^{(2)}}{{\mu }_{20}^{(2)}}$$

因此，參數 $\gamma$ 具有唯一的解。

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矩陣 ${\mathbf{A}}_s=\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \delta \end{array}\right)$

縮放參數 $\alpha$ 和 $\delta$ 的大小通過在水平和垂直方向上將圖像 $f_3(x,y)$ 縮放到規定的標準尺寸來確定。它們的符號都是確定的，這樣 ${\mu }_{50}^{(4)}$ 和 ${\mu }_{05}^{(4)}$ 都是正的，可以通過水平翻轉或垂直翻轉來改變。

簡而言之，參數 $\alpha$ 和 $\delta$ 的大小是根據規定的標準尺寸確定的，標準尺寸的大小決定了參數 $\alpha$ 和 $\delta$ 的取值。由于縮放倍數是非負的，因此參數 $\alpha$ 和 $\delta$ 的符號一定為正（？）

D?水印的影響

值得注意的是，對于水印嵌入，標準化是對原始圖像進行的；對于水印提取，標準化是對含水印圖像進行的。因此，重要的是設計水印信號，使其對標準化圖像的影響最小。

令 $w(x,y)$ 表示添加到原始圖像 $f(x,y)$ 中的水印信號。令 $m_{pq}^{(w)}$ 表示 $w(x,y)$ 的原點矩。根據前文公式：

$$d_1=\frac{m_{10}}{m_{00}},d_2=\frac{m_{01}}{m_{00}}$$
可以取 $m_{10}^{(w)}=m_{01}^{(w)}=0$，使得 $w(x,y)$ 對標準化過程的中心步驟沒有影響。

此外，我們希望對于 $p+q$ 等于 $2$ 和 $3$ 有 $m_{pq}^{(w)}=0$，使得水印不影響其余的標準化變換。這里假設 $w(x,y)$ 和 $f(x,y)$ 是統計獨立的，因此它們的二階和三階中心矩是可加的。

正如后面將要討論的那樣，水印是由零均值高斯或均勻源產生的 $\mathsf{CDMA}$ 信號，它被添加到圖像的中頻 $\mathsf{DCT}$ 系數中。從我們的數值例子可以看出，這樣的水印幾乎滿足上述所描述的所有期望的性質，并且對標準化圖像幾乎沒有影響。

E?可替代的標準化過程

上述標準化過程由一系列初等仿射變換（即剪切和縮放操作）組成。我們指出，其他變換過程也可以用類似的方式構造，以實現標準化圖像中的放射變換不變性。比如以下過程：
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}cos?& sin?\\ ?sin?& cos?\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \delta \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& \beta \\ 0& 1\end{array}\right)$$
其中包括：

• 1）在 $x$ 方向上的剪切；
• 2 ）在 $x$ 方向和 $y$ 方向上的縮放；
• 3）旋轉 $?$ 角度；

上述過程中的參數可以通過執行每個步驟的一組預定義的矩來確定。感興趣的讀者可以參考文獻 [15]。