【高等數學】第十二章無窮級數——第二節常數項級數的審斂法

上一節：【高等數學】第十二章無窮級數——第一節常數項級數的概念和性質
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1. 正項級數及其審斂法

正項級數
各項都是正數或零的級數稱為正項級數
正項級數收斂
正項級數 $∑n=1∞un\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收斂的充分必要條件是：它的部分和數列 ${s_n\}$ 有界。

單調有界數列必有極限，數列有極限必定有界
比較審斂法
設 $∑n=1∞un\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ 和 $∑n=1∞vn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}$ 都是正項級數，且 $un?vnu_{n}\leqslant v_{n}$ （ $n = 1$ ， $2$ ， $?\cdots$ ）。
若級數 $∑n=1∞vn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}$ 收斂，則級數 $∑n=1∞un\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ 收斂；
反之，若級數 $∑n=1∞un\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ 發散，則級數 $∑n=1∞vn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}$ 發散。
推論
設 $∑n=1∞un\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 和 $∑n=1∞vn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都是正項級數，如果級數 $∑n=1∞vn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收斂，且存在正整數 $N$ ，使當 $\geqslant N$ 時有 $un?kvnu_n \leqslant kv_n$ （ $k > 0$ ）成立，
那么級數 $∑n=1∞un\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收斂；
如果級數 $∑n=1∞vn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 發散，且當 $\geqslant N$ 時有 $un?kvnu_n \geqslant kv_n$ （ $k > 0$ ）成立，
那么級數 $∑n=1∞un\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 發散。

改變有限項、數乘不改變收斂性

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