矩陣微積分的鏈式法則（chain rule）與標量情況一樣，用于求復合函數的導數，但由于涉及矩陣和向量的求導，維度匹配和布局約定（numerator-layout vs. denominator-layout）必須格外小心。下面給出常見的三種場景，并分別給出鏈式法則的顯式表達。

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1. 標量對矩陣的鏈式法則
   設

• 標量函數 (L) 依賴于矩陣變量 (Y \in \mathbb{R}^{m\times n})；
• 而 (Y) 又是矩陣變量 (X \in \mathbb{R}^{p\times q}) 的函數：(Y = F(X))。
  則

[
\frac{\partial L}{\partial X_{ij}} = \sum_{k=1}^{{m}\sum_{l=1}}{n} \frac{\partial L}{\partial Y_{kl}}\frac{\partial Y_{kl}}{\partial X_{ij}}.
]

寫成“向量化”形式（vec 算子按列堆疊）：

[
\frac{\partial L}{\partial \operatorname{vec}(X)} = \left(\frac{\partial \operatorname{vec}(Y)}{\partial \operatorname{vec}(X)}\right)^\top \frac{\partial L}{\partial \operatorname{vec}(Y)}.
]

注意：

• 分子布局（numerator layout）下，(\frac{\partial \operatorname{vec}(Y)}{\partial \operatorname{vec}(X)}) 是 ((mn)\times(pq)) 的 Jacobian；
• 轉置的出現取決于你采用的布局約定，務必維度匹配。

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2. 向量對向量的鏈式法則
   設

• 向量函數 (z \in \mathbb{R}^{r}) 依賴于向量 (y \in \mathbb{R}^{m})；
• 而 (y) 又依賴于向量 (x \in \mathbb{R}^{n})：(y = f(x))。
  則

[
\frac{\partial z}{\partial x^\top} = \frac{\partial z}{\partial y^\top} \frac{\partial y}{\partial x^\top},
]

其中

• (\frac{\partial z}{\partial y^\top}) 是 (r \times m)；
• (\frac{\partial y}{\partial x^\top}) 是 (m \times n)；
• 乘積給出 (r \times n) 的 Jacobian (\frac{\partial z}{\partial x^\top})。

若用分母布局（denominator layout），則寫作

[
\frac{\partial z}{\partial x} = \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^\top \frac{\partial z}{\partial y}.
]

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3. 矩陣對矩陣的“完全鏈式法則”
   當外層函數本身也是矩陣值，且內層函數也是矩陣值時，最保險的做法是向量化：

設

• (Z = G(Y)) 且 (Y = F(X))，
  其中 (X \in \mathbb{R}^{p\times q})，(Y \in \mathbb{R}^{m\times n})，(Z \in \mathbb{R}^{r\times s})。
  則

[
\frac{\partial \operatorname{vec}(Z)}{\partial \operatorname{vec}(X)} = \frac{\partial \operatorname{vec}(Z)}{\partial \operatorname{vec}(Y)} \frac{\partial \operatorname{vec}(Y)}{\partial \operatorname{vec}(X)}.
]

• 左側是 ((rs)\times(pq)) 的 Jacobian；
• 右側兩個因子分別是 ((rs)\times(mn)) 與 ((mn)\times(pq))，維度恰好可乘。

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記憶技巧
“維度從左到右連乘”：

• 若使用分子布局，鏈式法則的 Jacobian 順序與函數復合順序相同（類比標量鏈式法則）。
• 若使用分母布局，需要轉置中間 Jacobian。
  無論哪種約定，務必先固定一種，再檢查維度是否匹配。

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小例子
設

• (L = \tfrac{1}{2}|Y|_F^2)，
• (Y = AXB)，(A,B) 為常數矩陣，
  則
  [
  \frac{\partial L}{\partial X} = A^\top Y B^\top,
  ]
  可直接用上述鏈式法則驗證：
• (\frac{\partial L}{\partial Y} = Y)，
• (\frac{\partial \operatorname{vec}(Y)}{\partial \operatorname{vec}(X)} = B^\top \otimes A)，
• 于是
  [
  \operatorname{vec}!\left(\frac{\partial L}{\partial X}\right) = (B \otimes A^\top)\operatorname{vec}(Y) = \operatorname{vec}(A^\top Y B^\top).
  ]

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注： AI寫的，請大家審閱！