1、前言

? ??歸一化技術是數據預處理的核心環節，本文將深度解析主流歸一化方法，提供可復現Matlab代碼，并探討其在各領域中的應用場景。

2、什么是歸一化？

??歸一化是數據預處理的核心技術之一，它將不同量綱、不同數量級的特征數據轉換到統一的數量范圍。通過消除特征的量綱差異和數量級影響，歸一化使數據具有可比性，為后續的數據分析和建模奠定基礎。

3、為什么要進行歸一化

3.1 消除量綱影響
??不同特征可能有完全不同的量綱（如年齡（歲）vs 收入（萬元）），直接計算會導致量綱大的特征主導結果。
3.2 加速模型收斂
??梯度下降類算法中，歸一化后的數據能使損失函數的等高線更接近圓形，大幅提高收斂速度。
3.3 提高模型精度
??基于距離的算法（如KNN、SVM、K-Means）對特征尺度敏感，歸一化可防止大范圍特征淹沒小范圍特征。
3.4 避免數值問題
??大數值可能導致計算溢出（如指數函數）或精度損失。
3.5 統一優化步長
??各特征方向上的步長一致，提高優化效率。

4、歸一化方法詳解與Matlab實現

4.1 最小-最大歸一化
??原理：線性映射原始數據到[0,1]區間
公式：
$$Xnorm=\frac{x?min(x)}{max(x)?min(x)}$$

特點：
（1）對異常值敏感（最大值/最小值易受離群點影響）。
（2）適用于數據分布未知的情況。
代碼：

clc
clear
close all
%%
data=[10,2,20,4, 30, 6, 40, 8];min_val = min(data);
max_val = max(data);
normalized_data = (data - min_val) ./ (max_val - min_val);disp('最小-最大歸一化結果:');
disp(normalized_data);
%%
%結果
最小-最大歸一化結果:0.2105         0    0.4737    0.0526    0.7368    0.1053    1.0000    0.1579

4.2 均值歸一化
??原理：均值歸一化是數據預處理中常用的一種歸一化技術，將數據范圍限制在[-1,1]區間內。
公式：
$$Xnorm=\frac{x?mean(x)}{max(x)?min(x)}$$
特點：
（1）相比最小-最大歸一化，均值歸一化保留了數據的分布形狀。
（2）使數據均值為0，有利于許多機器學習算法。
（3）適用于同時包含正負值的數據集。
（4）相比Z-score標準化，輸出范圍受限，減少數值問題。
代碼：

clc
clear
close all
%%data=[10,2,20,4, 30, 6, 40, 8];min_val = min(data);
max_val = max(data);normalized_data = (data - mean(data)) ./ (max_val - min_val);disp('均值歸一化結果:');
disp(normalized_data);
%%
%結果
均值歸一化結果:-0.1316   -0.3421    0.1316   -0.2895    0.3947   -0.2368    0.6579   -0.1842

4.3 Z-Score標準歸一化
??原理：將數據轉換為均值為0、標準差為1的分布。
公式：
$$z=\frac{x?\mu ?}{\sigma }$$
解釋：
x：原始數據。
μ?：數據的均值。
σ：標準差。

特點：
(1)對異常值有一定魯棒性。
(2)輸出范圍不受限。
(3)要求數據近似服從正態分布。
代碼：

clc
clear
close all
%%
data=[10,2,20,4, 30, 6, 40, 8];
% 使用示例：
mu = mean(data);
sigma = std(data,1);
z_data = (data - mu) ./ sigma;disp('Z-Score標準歸一化結果:');
disp(z_data);
%結果
Z-Score標準歸一化結果:-0.3892   -1.0120    0.3892   -0.8563    1.1677   -0.7006    1.9462   -0.5449

4.4 魯棒歸一化
??原理：使用四分位數代替極值，降低異常值影響。
公式：
$$Xrobust=\frac{x?Median(x)?}{IQR(x)}$$
解釋：
（1）x：原始數據。
（2）Median(x)?：數據的中位數。
（3）IQR(X)??：四分位距。它是??上四分位數與??下四分位數之差。
特點：
（1）異常值魯棒性??：最大優點，在數據包含異常值或存在重尾分布時表現卓越。
（2）保留信息??：不會像刪除異常值那樣造成信息損失。
（3）中位數和IQR的可解釋性??：這些統計量比均值和方差更易于理解。
（4）輸出范圍不固定??：轉換后的數據沒有固定的范圍（如[0,1]），這對于某些需要嚴格輸入范圍的算法（如神經網絡）可能是個問題。
（5） ??對數據分布敏感??：如果數據的中間50%（Q1到Q3）不能代表數據的整體分布，魯棒縮放可能效果不佳。
（6）不適用于小數據集??：四分位數的計算在小數據集上可能不穩定。
（7）忽略異常值但未處理??：它只是降低了異常值的影響，但異常值仍然存在于數據中。
代碼：

clc
clear
close all
%%
% 使用示例（含異常值）：
data=[10,2,20,4, 30, 6, 40, 8];
robust_data = robust_norm(data);
disp('魯棒歸一化結果:');
disp(robust_data);function robust_data = robust_norm(data)median_val = median(data);Q1 = quantile(data, 0.25);Q3 = quantile(data, 0.75);IQR = Q3 - Q1;% 處理IQR為0的列IQR(IQR == 0) = 1;robust_data = (data - median_val) ./ IQR;
end
%結果
魯棒歸一化結果:0.0500   -0.3500    0.5500   -0.2500    1.0500   -0.1500    1.5500   -0.0500

4.5 最大絕對值縮放
? ??原理：將數據按特征最大絕對值縮放至[-1,1]區間。
公式：
$$Xrobust=\frac{x}{max?(\mid x\mid )}$$
特點：
（1）保留數據稀疏性（不會移動數據中心）
（2）適用于稀疏數據（如文本處理）
代碼：

clc
clear
close all
%%
% 使用示例：
data=[10,2,20,4, 30, 6, 40, 8];
maxabs_data = maxabs_norm(data);
disp('最大絕對值縮放結果:');
disp(maxabs_data);function maxabs_data = maxabs_norm(data)max_abs = max(abs(data));% 處理全零列max_abs(max_abs == 0) = 1;maxabs_data = data ./ max_abs;
end
%結果
最大絕對值縮放結果:0.2500    0.0500    0.5000    0.1000    0.7500    0.1500    1.0000    0.2000

4.6 非線性歸一化方法

? ??除了上述的線性歸一化，還有非線性歸一化。非線性歸一化??是指通過??非線性函數??對數據進行變換，其目的不僅是改變數據的尺度和中心，更重要的是??改變數據的分布形狀??（如偏度、峰度）。與線性歸一化只是進行縮放和平移不同，非線性變換能夠壓縮分布的一端、拉伸另一端，從而更好地滿足模型的假設或揭示數據的內在結構。
（1）對數變換
公式：
$lo{g}_{d}ata=sign(data).?log(1+abs(data))$
說明：支持負值
代碼：

clc
clear
close all
%%
% 使用示例：
data=[10,2,20,4, 30, 6, 40, 8];
log_data = sign(data) .* log(1 + abs(data)); 
disp('對數變換:');
disp(log_data);
%結果
對數變換:2.3979    1.0986    3.0445    1.6094    3.4340    1.9459    3.7136    2.1972

（2）反正切變換
公式：
$ata{n}_{d}ata=atan(data)?2/pi$
說明：可以映射到[-1,1]
代碼：

clc
clear
close all
%%
% 使用示例：
data=[10,2,20,4, 30, 6, 40, 8];
atan_data = atan(data) * 2 / pi;
disp('反正切變換:');
disp(atan_data);
%結果：
反正切變換:0.9365    0.7048    0.9682    0.8440    0.9788    0.8949    0.9841    0.9208

（3） Sigmoid變換
公式：
$sigmoi{d}_{d}ata=1./(1+exp(?data))$
代碼：

clc
clear
close all
%%
% 使用示例：
data=[10,2,20,4, 30, 6, 40, 8];
sigmoid_data = 1 ./ (1 + exp(-data));disp('反正切變換:');
disp(sigmoid_data);
%結果：
Sigmoid變換:1.0000    0.8808    1.0000    0.9820    1.0000    0.9975    1.0000    0.9997

5、總結

? ??歸一化作為數據預處理的基石，通過消除特征間的量綱差異和數量級影響，顯著提升模型的性能和穩定性。沒有"最好"的歸一化方法，需根據數據特性和模型需求選擇，不同應用場景下的方法選擇策略。