在實變函數（或一般拓撲學）中，給定一個集合 E \subseteq \mathbb{R}^n （或更一般的拓撲空間），集合 E 的邊界（boundary）與 E 的補集 E^c 的邊界是否相等？ 即，是否有 \partial E = \partial E^c ？
基本概念回顧
首先，我們需要明確幾個關鍵概念：
- 閉包（Closure）：集合 E 的閉包 \overline{E} 是包含 E 的最小閉集，即 E 及其所有極限點的并集。
- 內部（Interior）：集合 E 的內部 E^\circ 是包含于 E 的最大開集，即所有 E 的內點的集合。
- 邊界（Boundary）：集合 E 的邊界 \partial E 定義為：
[
\partial E = \overline{E} \setminus E^\circ = \overline{E} \cap \overline{E^c}
]
即，邊界是 E 的閉包中不屬于 E 內部的點，或者說同時屬于 E 和其補集 E^c 的閉包的點。
邊界與補集邊界的關系
我們需要比較 \partial E 和 \partial E^c 。
根據邊界的定義：
[
\partial E = \overline{E} \cap \overline{E^c}
]
[
\partial E^c = \overline{E^c} \cap \overline{E}
]
顯然，集合的交集是可交換的，即 \overline{E} \cap \overline{E^c} = \overline{E^c} \cap \overline{E} ，因此：
[
\partial E = \partial E^c
]
直觀理解
從幾何或直觀上看：
? \partial E 是那些“既不屬于 E 的內部也不屬于 E^c 的內部”的點。換句話說，這些點的任何鄰域都既包含 E 的點也包含 E^c 的點。
? \partial E^c 是那些“既不屬于 E^c 的內部也不屬于 E 的內部”的點，即同樣任何鄰域都既包含 E^c 的點也包含 E 的點。
因此， \partial E 和 \partial E^c 描述的是同一組點：集合 E 和其補集 E^c 的“邊緣”或“分界線”。
例子驗證
讓我們通過具體的例子來驗證這一點。
例子 1： E 為開區間 ( (0, 1) )（在 \mathbb{R} 中）
? ( E = (0, 1) )
? ( E^c = (-\infty, 0] \cup [1, +\infty) )
計算邊界：
? \overline{E} = [0, 1] , ( E^\circ = (0, 1) ), 所以 ( \partial E = [0, 1] \setminus (0, 1) = {0, 1} )
? ( \overline{E^c} = (-\infty, 0] \cup [1, +\infty) ), ( E^{c\circ} = (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) ), 所以 \partial E^c = \overline{E^c} \setminus E^{c\circ} = {0, 1}
因此， \partial E = \partial E^c = {0, 1} 。
例子 2： E 為閉區間 [0, 1] （在 \mathbb{R} 中）
? E = [0, 1]
? ( E^c = (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) )
計算邊界：
? \overline{E} = [0, 1] , ( E^\circ = (0, 1) ), 所以 ( \partial E = [0, 1] \setminus (0, 1) = {0, 1} )
? ( \overline{E^c} = (-\infty, 0] \cup [1, +\infty) ), ( E^{c\circ} = (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) ), 所以 \partial E^c = \overline{E^c} \setminus E^{c\circ} = {0, 1}
因此， \partial E = \partial E^c = {0, 1} 。
例子 3： E 為康托爾集（Cantor set）
康托爾集 C 是一個著名的處處不連續的閉集，其補集 C^c 是開集的并。
? \partial C = C （因為 C 的內部為空，閉包為自身）
? \partial C^c = \partial C = C （因為 C^c 的邊界也是 C ）
因此， \partial C = \partial C^c 。
可能的誤區
有時候，人們可能會誤認為 \partial E 和 \partial E^c 是不同的，尤其是當 E 具有復雜的拓撲結構時。例如：
? 如果 E 是一個開集，可能會認為 \partial E 是其“邊緣”，而 \partial E^c 是其補集的“邊緣”，看起來不同。
但事實上，無論 E 是開集、閉集還是既不開也不閉的集合， \partial E 和 \partial E^c 始終是相同的集合。
數學證明
為了更嚴謹地證明 \partial E = \partial E^c ，我們可以直接根據定義：
-
邊界的定義：
[
\partial E = \overline{E} \cap \overline{E^c}
]
[
\partial E^c = \overline{E^c} \cap \overline{E}
]由于集合的交集是可交換的（即 A \cap B = B \cap A ），因此：
[
\partial E = \partial E^c
] -
另一種表述：
? 邊界點 x 滿足： x 的任何鄰域既包含 E 的點也包含 E^c 的點。? 這與 x 是 E^c 的邊界點的定義完全相同（即 x 的任何鄰域既包含 E^c 的點也包含 E 的點）。
? 因此， \partial E 和 \partial E^c 描述的是同一組點。
結論
在實變函數或一般拓撲學中，對于任意集合 E \subseteq \mathbb{R}^n （或更一般的拓撲空間），集合 E 的邊界 \partial E 與其補集 E^c 的邊界 \partial E^c 是相等的。即：
[
\partial E = \partial E^c
]
這一結論可以通過定義直接驗證，并通過具體例子（如開區間、閉區間、康托爾集等）得到支持。
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